최근 제출한 논문에 대한 소개를 간단히 하려고 한다. 논문의 원래 제목은 “Analytically solvable autocorrelation function for correlated interevent times”이다. 논문은 여기에서 다운받아 볼 수 있다. 자체상관함수는 시계열의 기억효과를 측정하기 위해 매우 널리 쓰이는 방법인데 나는 특히 거듭제곱 꼴로 나타나는 자체상관함수에 관심이 있다. 거듭제곱 꼴의 자체상관함수는 상전이가 일어나는 물리계에서도 흔히 관찰되기도 한다.

자체상관함수가 거듭제곱 꼴로 감소할 때 그 거듭제곱 지수의 값을 어떻게 이해할 것인지에 대한 문제로 볼 수 있는데, 그 중에서도 점과정(point process)으로 표현할 수 있는 시계열의 경우 사건 사이 시간이 거듭제곱 분포를 따르되 사건 사이 시간들 사이에는 상관관계가 없는 경우는 이미 정확히 풀렸다. 1993년 Lowen과 Teich의 PRE 논문에서 그 결과를 확인할 수 있다. 사건 사이 시간 분포의 거듭제곱 지수를 \(\alpha\)라고 하고, 자체상관함수의 거듭제곱 지수를 \(\gamma\)라고 하면 아래와 같은 관계가 있음이 해석적으로 증명되었다.

$$\alpha+\gamma=2\ \textrm{for}\ 1<\alpha<2$$ $$\alpha-\gamma=2\ \textrm{for}\ 2<\alpha<3$$

그렇다면 사건 사이 시간의 분포는 그대로인데 사건 사이 시간 사이의 상관관계가 있는 경우 자체상관함수는 어떻게 변하게 될 것인가가 내가 공부한 문제다. 사건 사이 시간 사이의 상관관계는 다양한 형태로 나타낼 수 있고 또 그렇게 측정되어 왔는데, 그중에서도 가장 간단한 경우는 한 사건 사이 시간과 바로 다음 사건 사이 시간이 상관관계를 갖는 경우이고 이를 이 두 사건 사이 시간 사이의 피어슨 상관계수로 나타내는 것이다. 이를 기억계수(memory coefficient; M)라 부르며 2008년 Goh와 Barabasi의 EPL 논문에서 제시되었다.

이 문제를 어떻게 접근할 것인가. 우선 연속한 두 사건 사이 시간들의 결합분포를 정확히 쓸 수 있어야 한다. 이를 위해 Farlie-Gumbel-Morgenstern copula를 적용한다. 이 결합분포에는 기억계수 M에 해당하는 변수가 포함되어 있어서 사건 사이 시간 사이의 상관관계를 해석적으로 다룰 수 있게 해준다. 다만 수식을 일반적인 경우에 정확히 풀 수가 없어서 기억계수가 매우 작다고 가정하고 전개한 걸 풀었고 그 결과로 얻어진 자체상관함수의 해가 실제 시뮬레이션과 잘 맞는다는 것을 보였다.

그럼 이로 인해 실제로 \(\gamma\)가 변했는지를 살펴봐야 한다. 사실 자체상관함수의 해를 닫힌 형태로 구하기보다는 급수형태로 구했기 때문에 \(\gamma\)가 M에 따라 ‘정확히’ 어떻게 변하는지는 알 수 없다. 다만 M이 0인 경우에 비해 M이 커짐에 따라 \(\gamma\)가 커지는지 줄어드는지 정도는 확인할 수 있었다. 결론적으로 M이 양수일 때 자체상관함수 곡선은 M=0인 경우보다 높아진다. 하지만 그 기울기, 즉 \(\gamma\)는 커지게 된다. 절대값이 아니라 기울기만 본다면 자체상관함수의 꼬리가 얇아지는 효과가 있다고 볼 수 있다. 하지만 실제로는 꼬리가 두꺼워지는데 이게 불균일하게 두꺼워져서 \(\gamma\)가 커지고 \(\gamma\)만으로 판단하면 꼬리가 얇아지는 것처럼 보인다는 말이다. 이 결과는 내가 다른 형태의 사건 사이 시간 사이의 상관관계를 수치적으로 공부한 결과(PRE, 2017)와도 일맥상통한다. 끝.


꼬리표: , , , , , , , , , ,
☆ 2019.01.26 16:27 | 공부 | 엮인글(0) | 덧글()

  1. + Seldon 2019.07.18 14:01 신고  덧글주소 | 고쳐/지워 | 덧글쓰기

    https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.100.012306 출판됨

이름 암호