삼각함수 덧셈정리 증명

삼각함수의 덧셈정리는 다음과 같다.

$$1.\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta$$ $$2.\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$$

어렸을 때 배운 이래로 지금까지 외워서 써왔는데, 문득 증명을 해보고 싶은 마음이 들었다. 아마 어렸을 때도 증명을 해보긴 해봤을 것 같은데 너무 오래전이라;;; 걍 다시 생각해봤다. 아래 그림을 보자.

삼각형 ABC와 삼각형 ABD 모두 직각삼각형이다. 선분 AB의 길이를 1이라고 하자. 그러면 위 1번 식에서 \(\sin(\alpha+\beta)\)의 값은 BC의 길이가 된다. BC는 BF와 FC의 합이며, FC의 길이는 DE의 길이와 같다. BF의 길이는 1번 식 우변의 둘째 항의 값이 되고, DE의 길이는 1번 식 우변의 첫째 항의 값이 된다. 증명 끝;;;

코사인의 경우, 2번 식의 좌변은 AC의 길이이며 이는 AE에서 CE를 빼준 값이다. AE의 길이는 2번 식 우변의 첫째 항의 값이고 CE의 길이는 2번 식 우변의 둘째 항의 값이다. 여기서 각 FBD는 각 DAC, 즉 α와 같음을 이용했다. 역시 증명 끝.