오늘은 오랜만에 논문을 소개하려고 한다. 지난 6월 21일자 <사이언스>에 출판된 루이스 베텐코트의 논문인데 제목은 "도시에서 눈금잡기의 원인(The Origins of Scaling in Cities)"이다. 도시에서 나타나는 다양한 눈금잡기 현상을 아주 간단한 가정들을 통해 이끌어내는 게 주요한 결과다. 대표(?)적인 예로 미국의 대도시통계지역(metropolitan statistical area; MSA)의 총 도로 길이는 그 지역의 인구에 따라 커지는데 선형보다 느리게 커진다(sublinear). 즉 눈금잡기 지수는 1보다 작은 약 0.85다. 각 지역의 GDP도 인구에 따라 커지는데 이때는 선형보다 빠르게 커지며(superlinear) 눈금잡기 지수는 1보다 큰 약 1.13이다.


어떤 도시의 인구를 N, 면적을 A라고 하면 인구밀도는 n=N/A다. 한 사람이 한 곳에서 상호작용할 수 있는 면적, 즉 상호작용 면적을 a_0이라고 하자. l은 사람, 상품, 정보가 이동하는 평균 길이라고 하자. 한 번의 상호작용에 따른 결과(이익이든 비용이든)의 평균을 g라고 나타낸다. 그럼 한 사람이 도시의 여기 저기를 다니면서 다른 사람들과 상호작용한 결과는 ga_0ln이다. N명이 모두 이런 결과를 얻었다면, 도시 전체의 결과(또는 사회경제적 산출) Y는 다음과 같다.


$$Y=N\cdot ga_0ln=G\frac{N^2}{A},\ G=ga_0l$$


다음으로 사람, 상품, 정보의 운송과정에 필요한 에너지를 생각해보자. 한 사람이 움직이기 위해 시간당 필요한 힘을 ε이라고 하고, 도시의 가로지름 길이(또는 지름)를 L이라고 하자. 그럼 시간당 필요한 에너지, 즉 일률은 εL이고 이걸 N명으로 곱해주면 총 일률 T가 나온다.


$$T=\epsilon LN$$


여기서 L은 A의 제곱근이라 생각할 수도 있다. 그런데 일반적으로 쓰기 위해서 공간 차원을 D라고 하고, 도시내 이동경로가 선형이 아니라 프랙탈이라고 가정하고 이 프랙탈 차원을 H로 쓴다. 그러면 L과 A는 다음 관계에 놓인다.


$$L\sim A^{H/D}$$


Y가 도시의 총 이익이라면 T는 도시의 총 비용이라 할 수 있다. 이익과 비용이 대충(;;;) 균형을 이룬다고 하자. 즉 Y=T다. 이로부터 A와 N의 관계를 다음처럼 얻는다.


$$A=aN^{\alpha},\ a=\left(\frac{G}{\epsilon}\right)^\alpha,\ \alpha=\frac{D}{D+H}$$


보통 D는 2이고 H는 1이므로 α는 2/3이다. 즉 도시면적은 도시인구에 따라 커지지만 선형보다 느리게 커진다. 이 결과를 이용해서 Y를 다시 쓰면,


$$Y=Y_0N^\beta,\ Y_0=G^{1-\alpha}\epsilon^\alpha,\ \beta=2-\alpha$$


이다. 그런데 이걸로는 실증 결과를 제대로 설명하지 못하므로, 연결망 효과를 도입한다. 그래서 개인간의 평균 거리 d가 일인당 하부구조(infrastructure) 연결망의 평균 길이와 같다고 가정한다. 즉 하부구조가 도시에 사는 사람들을 모두 이어줄 수 있을 정도는 되어야 한다는 말이다. 이 길이에 인구수를 곱해준 총 연결망 부피(면적으로 부르기도 함)는 다음과 같다.


$$A_n(N)\sim Nd=N\left(\frac{A}{N}\right)^{1/D}=A_0N^{1-\delta},\ A_0=a^{1/D},\ \delta=\frac{H}{D(D+H)}$$


여기서 저자는 도시의 사회경제적 산출은 사회적 상호작용에 비례한다는 가정을 한다. 즉(?) 위의 Y에 관한 식에서 A 대신 A_n을 넣는다.


$$Y=G\frac{N^2}{A_n}\sim N^\beta,\ \beta=1+\delta$$


역시 D=2, H=1일 때 δ는 1/6인데, 그럼 총 연결망 부피는 인구의 5/6제곱으로 늘어나고 이는 미국의 총 도로 길이에 관한 눈금잡기 지수인 0.85랑 잘 맞는다. 또한 Y를 미국 도시들의 GDP라고 하면 β=7/6도 실제 값인 1.13에 잘 맞는다. 이게 논문의 앞 절반쯤에 해당하는 내용이고, 뒤 절반에서는 도시의 하부구조의 위계적 구조에 관한 단순한 모형을 만들어서 역시 다양한 눈금잡기 관계를 유도해내고 있다. 이건 나중에;;;