중력 모형 유도

오늘은 중력 모형(gravity model)을 소개하려고 한다. 질량이 있는 물체는 서로 끌어당긴다는 만유인력의 법칙을 사회현상에 적용한 것인데, 이를테면 두 도시 사이의 교통량은 각 도시의 인구의 곱에 비례하고 두 도시 사이의 거리(또는 거리의 거듭제곱)에 반비례한다는 것이다. 중력 모형은 만유인력의 법칙으로부터 유추해서 쓰기도 하지만, 엔트로피 최대화라는 원리로부터 유도할 수도 있다. 그 유도 과정을 위키피디아를 참고하여;;; 정리해보겠다.

T명의 여행자가 있다고 하자. 각 여행자는 각자의 출발지에서 출발하여 각자의 목적지에 도착한다. 출발지와 목적지는 도시가 될 수도 있고 건물이 될 수도 있다. 출발지가 모두 목적지일 필요도 없고 그 반대도 마찬가지다. 출발지 i에서 출발하여 목적지 j에 도착하는 여행자의 수를 $T_{ij}$로 나타낸다. 그럼 출발지 i에서 출발한 여행자의 수와 목적지 j에 도착한 여행자의 수는 각각 아래와 같다.

$$T_i=\sum_j T_{ij},\ T_j=\sum_i T_{ij}$$

총 여행자 수는 다음이 된다.

$$T=\sum_{i,j}T_{ij}$$

그리고 i에서 j로의 여행에 드는 비용을 $C_{ij}$라고 하자. 그러면 총여행비용은 다음처럼 얻어질 것이다.

$$C=\sum_{i,j}T_{ij}C_{ij}$$

이제 제약조건인 $T_i$와 $T_j$와 $C_{ij}$가 주어져 있을 때 $T_{ij}$를 결정하려고 한다. 앞의 제약조건을 만족하는 다양한 경우 중 하나를 고른다는 말인데 우리는 그중에서도 ‘가장 그럴듯한 경우’를 고를 것이다. 여기에 엔트로피 최대화가 쓰인다. 일단 제약조건은 생각하지 말고 모든 i와 j에 대해 $T_{ij}$가 주어져 있다고 가정했을 때 가능한 경우의 총 수는 다음과 같다.

$$\frac{T!}{\prod_{i,j}T_{ij}!}$$

이걸 최대화하되 앞의 제약조건을 고려하기 위해 다음과 같은 함수를 정의한다.

$$L(T_{ij})=\frac{T!}{\prod_{i,j}T_{ij}!}+\sum_i\lambda_i(T_i-\sum_jT_{ij}) +\sum_j\lambda_j(T_j-\sum_iT_{ij})$$ $$+\beta(C-\sum_{i,j}T_{ij}C_{ij})$$

이제 이를 최대화하는 $T_{ij}$를 찾으면 다음 결과를 얻는다.

$$T_{ij}\propto T_iT_je^{-\beta C_{ij}}$$

즉, i에서 j로 여행하는 여행자수는 i로부터 출발한 여행자수에 비례하고 j에 도착하는 여행자수에 비례하며 그 여행비용이 커질수록 줄어든다. 여기서 비용은 출발지와 목적지 사이 거리($d_{ij}$)의 함수를 비롯한 다양한 요인의 함수가 될 수 있는데 다음처럼 씌어지는 경우도 많이 연구되었다.

$$T_{ij}\propto \frac{T_iT_j}{d_{ij}^\alpha}$$

마지막으로 엔트로피 최대화 원리는 왜 적용되어야 하는지 의문을 품을 수 있다. 사실 불확실한 상황에서 ’가장 그럴듯한 경우’를 찾는다고 하면 정당화된다. 오히려 더 중요한 건 더 많은 정보가 주어져 있을 때 이를 고려하는 것이겠다. 끝.