제목의 세 가지 다른 상태를 정의하는 방법을 소개하겠다. 다루고자 하는 시스템이 정의되면 그 시스템이 가질 수 있는 가능한 모든 상태도 알 수 있다. 그 각각의 상태를 n이라고 하고 시각 t에 시스템이 상태 n에 있을 확률을 P(n,t)라고 하자. 단위 시간 동안 시스템이 상태 n에서 상태 m으로 전이하는 비율, 즉 전이율은 W(n→m)으로 쓴다. 그러면 P(n,t)의 시간에 따른 변화에 대한 으뜸방정식을 다음처럼 쓸 수 있다.
dP(n,t)/dt = Σ_m W(m→n) P(m,t) - Σ_m W(n→m) P(n,t)
우변의 합은 모든 상태 m에 대한 합이다. 또한 보통 Σ_n P(n,t) = 1이라는 조건이 덧붙는다.
정상상태(stationary state)란 시간에 따라 변하지 않는 상태를 가리킨다. 수식으로 쓰면 P(n,t) = P(n)이다. 위 방정식의 좌변이 0이므로 우변도 0이어야 한다. 우변이 0인 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
1) W(m→n) P(m) = W(n→m) P(n)인 경우에는 우변이 0이 된다는 것을 알 수 있다. 즉 시스템이 가질 수 있는 임의의 두 상태 n, m에 대해 시스템이 n에 있다가 m으로 갈 확률과 m에 있다가 n으로 갈 확률이 같은 경우다. 이렇게 전이 확률들이 일일이 대응된다고 하여 이 조건을 '미세균형(detailed balance)'이라 부르고 이때의 정상상태를 평형 정상상태(equilibrium stationary state)라고 한다.
2) W(m→n) P(m) ≠ W(n→m) P(n)이지만 Σ_m W(m→n) P(m) = Σ_m W(n→m) P(n)인 경우. 앞에서와 달리 양쪽 합의 각 항들의 균형이 맞춰지지는 않았지만 통째로, 즉 모든 상태 m에 대한 합이 균형을 이루는 경우다. 이를 '온곳균형(global balance)'이라 부른다. 미세균형이 성립하지 않으므로 상태들 사이의 국소적인 확률의 흐름(local current)이 존재한다고 볼 수 있다. 이때의 정상상태를 비평형 정상상태(nonequilibrium stationary state)라고 한다.
마지막으로 위 으뜸방정식의 우변이 0이 되는 조건이 없는 경우도 당연히 생각해볼 수 있다. P(n,t)가 시간에 따라 주기적으로 변할 뿐 일정한 값에 머무르지 않는 경우다. 이를 비평형 상태(nonequilibrium state)라 부를 수 있다.
덧붙여서 steady state라는 말도 '정상상태'로 번역되어 쓰인다. 그런데 종종 steady라는 말과 stationary라는 말이 구분되는 것 같은데 얼핏 steady state는 위의 분류에 따르면 비평형 정상상태를 가리키는 뉘앙스가 느껴지기도 한다. 나는 사람들이 대충 두 가지를 섞어서 뚜렷한 구분 없이 쓰는 것 같은데 아시는 분은 알려주시기를~
