아는 분이 어느날 한계령(?)을 넘다가 문득 저 멀리 보이는 바다의 수평선이 굽어보이는 것 같은 느낌을 받으셨다고 한다. 주변 사람들한테 그 얘기를 했더니 논란이 되었는데 그 얘기를 들었던 한 분이 계산을 하여 굽어보이는 것도 가능하다고 하셨다고 한다. 그래서 나도 따로 간단히 계산을 해보았다.
OF, OB, OE, OG는 지구의 반지름 R이다. AF의 길이를 h라고 하자. A의 시야각, 즉 각 CAD를 φ라고 하고 수평선이 굽어보이는 정도는 DE의 길이보다 각 DBE로 측정한다고 하자. 각 DBE를 θ라고 하자. 그리고 각 OBA, 각 OBC, 각 OBD, 각 OFB, 각 OEB, 각 OGB, 각 ABC, 각 ABD는 모두 직각이다.
각 DBE는 각 BOE와 같으므로 호 BE의 길이는 Rθ이며 이를 대략 BD의 길이라고 하자. AB의 길이는 sqrt((R + h)^2 - R^2) ≒ sqrt(2hR)이다. 각 BAD는 φ/2이다. 직각삼각형 ABD에서 AB의 길이와 BD의 길이, 그리고 각 BAD가 구해졌므로 tan 함수를 쓰면 최종적으로 다음과 같은 결과를 얻는다.
tan φ/2 = Rθ / sqrt(2hR) 즉 θ = sqrt(2h / R) tan φ/2
R은 6400 km, h는 약 1 km, φ는 약 60도라고 하면 θ, 즉 각 DBE는 대략 1.8도다. 이 정도면 수면으로부터 1 km 높이에서 수평선의 굴곡을 눈으로 확인할 수 있을 정도는 된다. 나중에 높은 곳에서 바다를 볼 일이 있으면 맨눈으로 확인해봐야겠다. 끝.
