노이즈에 대한 논문을 읽다보니 기초가 부족하다는 걸 느꼈습니다. 간헐적으로 공부모임에서 보기는 했는데 공부만 하고나서 잊어먹기를 여러번 한 것 같아요. 그래서 오늘은 정리를 해두려고 합니다. 글제목은 굳이 영어로 쓰면, Fokker-Planck equation and Langevin approach이고, 반 캄펜(N.G. van Kampen)의 1992년 책 <물리와 화학에서 확률과정(Stochastic Processes in Physics and Chemistry)>을 봤습니다.
우선 확률과정을 기술하는 으뜸방정식(master equation; 줄여서 'M-방정식')은 다음과 같습니다.
P(y,t)는 시각 t에 상태 y일 확률분포를 의미하며, W(y|y')은 상태 y'에서 상태 y로 전이하는 비율을 의미합니다. 여기에 아래와 같은 변환을 해줍니다.
여기서 r은 매우 작은 값이며, 그 영역에서 W는 r 근처에서만 피크인 모양이며, y'에 대해서는 매우 느리게 변한다는 가정을 합니다. 그럼 위의 M-방정식은 아래처럼 쓸 수 있습니다.
r이 작은 값이므로 우변 첫째항의 WP를 r에 관해 테일러 전개하고 정리해주면 아래 결과가 나옵니다.
위의 왼쪽 식을 포커-플랑크 방정식(줄여서 F-P 방정식)이라 부릅니다. 오른쪽은 a_n의 정의입니다. F-P 방정식은 정의에 의해 P(y,t)에 선형입니다. 그래서 F-P 방정식에 '선형' 또는 '비선형'이라는 수식어를 붙이는 건 a_1이 y에 대해 선형이냐 아니냐로 결정된다고 합니다.
이 식으로부터 랑제방 방정식을 직접 유도하는 것도 같은데, 이 책에서는 좀 다르게 접근하는 것 같습니다. 우선 랑제방 방정식부터 씁니다.
y 위의 점은 시간 t로 미분했다는 말입니다. A는 y에 관한 어떤 함수이고 여기에 노이즈 항 η가 들어갑니다. 평균은 0이고 진폭은 Γ인 노이즈입니다. η의 자체상관함수가 델타 함수 꼴이므로 이런 걸 '하얀 노이즈'라고 한다고 했습니다. 쨌든 위 랑제방 방정식이 말하는 건 어떤 상태 y는 결정론적인 원인 A(y)와 확률론적인 원인 η(t)에 의해 변한다는 얘깁니다. 이런 랑제방 방정식에 대응하는 F-P 방정식은 다음과 같다고 합니다.
랑제방 방정식으로부터 유추한 요 위의 F-P가 M-방정식에서 유도한 더 위의 F-P의 정의에 맞는지는 a_1 = A 이고 a_2 = Γ라는 사실로부터 확인할 수 있습니다.
그럼 좀더 일반적인 랑제방 방정식을 생각해볼 수 있습니다:
양변을 C(y)로 나누고 다음처럼 변수변환을 해줍니다.
그러면 위의 좀더 간단한 형태의 F-P 방정식을 그대로 이용할 수 있습니다:
그럼 걍 위식처럼 되는거죠. 이걸 원래 y, A, P로 풀어서 써주면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
노이즈의 진폭인 Γ가 P를 y로 한 번 미분하는 항, 즉 우변의 첫째 항 안에 들어가 있는 걸 알 수 있습니다. 하지만 여기에 문제가 하나 있다고 하네요. 만일 η(t)가 델타 피크(델타 함수 꼴의 피크)로 나타난다면, 즉 y(t)가 η(t)의 델타 피크에 의해 점프를 하는 경우가 생길 수 있죠. 그러면 위의 일반적인 랑제방 방정식에서, C(y)의 y(t)를 점프를 하기 직전의 y로 넣을거냐, 점프를 하고난 직후의 y로 넣을거냐, 아니면 점프 전과 후의 y의 평균으로 넣을거냐 하는 문제가 생깁니다.
y가 그 자체로 잘 정의되는 양이라면 위의 산수는 문제가 없습니다. 하지만 델타 피크 같은 노이즈에 의해 순간적인 점프를 하게 되면 위의 산수의 기본적인 가정이었던 '잘 정의됨' 성질이 더이상 적용되지 않을 수도 있다는 거죠.
하여간 여기서 이토(Ito)와 스트라토노비치(Stratonovich)의 접근이 달라집니다. 스트라토노비치는 점프 전과 후의 평균 y를 택했고, 그 결과는 위에서 구한 F-P 방정식이 된다고 합니다. 이토는 점프 하기 직전의 y를 택했고, 그 결과 얻어진 F-P 방정식은 아래와 같다고 합니다.
두 접근의 차이는 P를 y로 한번 미분하는 항에 Γ 항이 들어가느냐 아니냐입니다. 애초에 C(y)가 상수라면 두 접근은 동일한 결과를 주지만, 노이즈의 진폭이 y의 함수인 경우에는 해석의 차이에 의한 결과적인 F-P 방정식의 차이가 나타나는 거죠.
이런 차이가 발생하는 원인은 '델타 피크 모양의 노이즈'라는 거고, 이건 또한 노이즈가 하얗냐 아니냐의 문제이며, 그에 따라 이토-스트라토노비치 사이의 접근방법 차이가 발생한다는 거죠.
이런 이토-스트라토노비치 딜레마를 해결(?)하기 위해 노이즈를 내부 노이즈와 외부 노이즈로 구분하자고 합니다. 사실 '딜레마'라기보다는 주어진 현상을 어떻게 '해석'할 거냐의 문제로 보입니다. 어쨌든 랑제방 방정식의 노이즈 항이 제거될 수 있느냐 아니냐라는 건데요. 제거할 수 있는 거라면 외부 노이즈고 아니라면 내부 노이즈겠죠.
그러고나서 외부 노이즈는 완전히 하얗게 될 수 없으므로 이때는 스트라토노비치 접근이 적용될 수 있다고 한다네요. 완전히 하얄 수는 없다는 게 y가 잘 정의된다는 거고 그러면 스트라토노비치의 F-P 방정식은 산수로는 문제가 없다는 말입니다. 하지만 내부 노이즈가 있는 경우(한 예로, 시스템 자체가 띄엄띄엄한 입자들로 이루어진 경우)에는 완전히 하얀 노이즈가 나타날 수 있고 이러면 이토의 F-P 방정식이 맞을 수도 있다고 합니다.
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어제밤에 누웠는데 꼭 몸살이 걸릴 것 같은 기분이었거든요. 아침에 일어나니 그래도 괜찮다고 느꼈는데 역시나 몸이 좋지를 않습니다. 피곤하네요... 모두들 건강하세요~
