제목을 굳이 영어로 다시 쓰자면, degree distribution of Barabasi-Albert scale-free network입니다. 선호적 연결(preferential attachment)을 하는 연결망의 이웃수 분포는 거듭제곱 꼴이 된다는 건 이미 잘 알려진 사실인데요, 왜 그런가를 다시 생각해보려고 오래된 사이언스 논문을 다시 펼쳤습니다.
매 시각 연결망에 새로 더해진 노드는 기존의 노드들 중 m개와 연결됩니다. 이때 기존 노드에 연결될 확률은 기존 노드의 이웃수에 비례하는 확률로 결정되죠. 이걸 선호적 연결이라 부르고요, 그 결과 이웃수의 분포는 지수가 -3인 거듭제곱 꼴이 됩니다.
저자들은 이 결과를 간단한 평균장 어림을 이용해서 구해내는데요, 그 과정을 다시 간단하게 따라가보겠습니다. 어떤 노드 i는 시각 t_i에 연결망에 새로 더해지는데요, 그 노드의 시각 t일 때의 이웃수는 k_i(t)라고 하겠습니다. 그럼 초기조건은 k_i(t_i) = m입니다. 노드 i의 이웃수가 시간에 따라 어떻게 변하는지는 다음 식으로 기술됩니다.
그런데 시각 t까지의 모든 노드의 이웃수의 총합은 2mt가 되므로 위 식처럼 쓸 수 있습니다. 그리고 a=1/2로 놓겠습니다. 위 식을 풀면 k_i는 t^a에 비례하는 결과가 나옵니다. 즉 시간이 갈수록 k_i는 커지는데 그게 t^a 꼴로 커진다는 겁니다.
그런데 이로부터 이웃수 분포를 얻으려면, 한 번 뒤집어서 생각을 해야 합니다. 즉 어떤 정해진 순간 t에서 이웃수 분포를 얻어야 하므로 k_i가 t와 어떤 관계에 있느냐보다도 노드 i가 '언제 연결망에 더해졌느냐'가 중요해집니다. 즉 k_i와 t_i 사이의 관계가 중요하다는 겁니다.
위에서 말한 초기조건을 이용하면 요 위의 식처럼 된다는 걸 알 수 있고, t_i와 k_i의 관계를 알 수 있습니다.
이제 위 관계식에서 편의상 i를 빼고 생각하겠습니다. t에 대한 확률분포, 즉 어떤 노드가 연결망에 더해진 시각에 대한 확률분포는 상수입니다. 간단히 말해서, 노드 10개가 있으면 각 노드들이 연결망에 더해진 시각은 1부터 10까지이고, 이 중 하나를 고를 확률은 그냥 1/10이라는 거죠.
P(k) ~ k^(-γ)라고 하면, 위 식을 이용해서 γ = 1/a + 1 이라는 걸 알 수 있습니다. a가 1/2라고 했으므로 γ는 3이 나오겠죠.
논문에서는 다 제대로 풀어놓았는데 괜히 이렇게 다시 정리한 건 지수 3이라는 숫자가 어떤 흐름에서 나왔는지를 보려고 했기 때문입니다. 특히 k_i의 시간에 따른 변화를 기술한 식에서 비례상수 a가 1/2이기 때문에 결과적으로 지수 γ가 3이 나왔습니다. 이 내용이 실린 논문이 1999년에 나왔고 그 이후에 다양하게 변형된 모형들에서 다양한 결과들이 얻어졌습니다.
그렇다구요;;;
