아래 '입자의 확산과 공진화하는 연결망'이라는 글에서 소개한 논문의 후속 논문을 봤습니다. lshlj님이 알려주셨는데요, 앞 논문의 저자들이 지난 5월 10일자로 아카이브(arxiv.org)에 올린 것으로서 제목은 'Structural phase transition in evolving networks'입니다.
앞의 모형에 한 가지 요소가 추가되었는데요, 모든 링크의 가중치가 일정한 비율 r로 줄어드는 겁니다. 즉 가중치가 1-r 배로 됩니다. r은 나이듦(ageing) 효과라고 볼 수도 있겠네요. r이 크다면 링크의 가중치가 무한정 커지기 힘들고, 그만큼 빨리 빨리 끊어잇기(rewiring) 될 것이므로 허브가 나타나기 힘들어집니다. 반대로 r이 작아질수록 허브가 나타나기 쉬워지고, 극단적으로 r이 0이면 앞 글에서 소개한 결과가 얻어지겠죠.
그럼 너무 크지도 않고 너무 작지도 않은 r에서 상전이 같은 걸 볼 수 있느냐.라고 물을 수 있고 그에 대한 답은 '그렇다'입니다. 이 특정한 r, 즉 r_c에서 이웃수 분포는 거듭제곱 꼴로 나타나는데 즉 척도 없는 연결망이 된다는 겁니다. 이때 거듭제곱 지수는 약 4.3이라고 합니다. 그리고 r_c가 존재한다는 것을 간단한 평균장 어림을 이용해서 보여줍니다.
r_c보다 작은 r에서 정상상태일 때 허브'들'을 관찰할 수 있습니다. 아래 너구리님이 물어보신 질문에 대해 답을 할 정도의 정보가 논문에는 담겨있지 않는 듯 합니다. 여기에 끼리끼리 효과(assortativity)가 있는지, 좀더 자세한 연결망 구조는 어떠한지 볼 필요가 있겠습니다.
