오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프(Leo Kadanoff)가 공동저자로 참여했고 1저자는 T. Halsey(핼시?)입니다. 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다. 제목은 "Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets"입니다. 또한 1988년에 <네이처>에 실린 스탠리(H.E. Stanley)의 짧은 리뷰 논문도 참고했습니다.
어떤 대상을 잘게 조각낸다고 합시다. 각 조각을 그것의 크기와 이외의 다른 성질, 이를테면 마구걷개가 이 조각을 방문할 확률 같은 걸로 기술한다고 합시다. 길이가 l 정도 되는 조각을 방문할 확률 p와 그런 조각들의 개수(또는 이를 전체 조각의 개수로 나눈 밀도)를 N이라고 합시다.
$$p\sim l^\alpha,\ N\sim l^{-f(\alpha)}$$
단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다.
이제 아래와 같은 양을 생각해보겠습니다.
$$\chi(q)=\sum_i p_i^q=\sum_p N(p)p^q=\sum_p e^{F(p)},\ F(p)=\ln N(p)+q\ln p$$
여기서 i는 앞에서 말한 각 조각에 붙은 번호입니다. p라는 확률을 가진 조각의 개수를 N(p)라고 하고, 이 식을 다시 변형하면 맨 오른쪽처럼 쓸 수 있습니다. F(p)를 최대로 하는 p를 p*라고 하면, 다음처럼 어림할 수 있습니다.
$$\chi(q)\approx N(p^*)(p^*)^q\sim l^{q\alpha-f(\alpha)}$$
그러므로 아래 왼쪽처럼 정의된 차원 Dq는 α와 f(α)로 다시 쓸 수 있습니다.
$$D_q=\lim_{l\to 0}\left[\frac{1}{q-1}\frac{\ln\chi(q)}{\ln l}\right]=\frac{1}{q-1}\left[q\alpha(q)-f(\alpha(q))\right]$$
D0은 방문 확률과 무관한 조각들의 쪽거리 차원(하우스도르프 차원)이고요, D1은 정보차원, D2는 상관차원이 됩니다. 다음으로, 위의 χ보다 좀더 일반적인 분배함수 Γ를 정의합니다.
$$\Gamma(q,\tau,l)=\sum_i\frac{p_i^q}{l_i^\tau},\ l_i<l$$
여기서도 i는 각 조각에 매겨진 번호이고 li와 pi는 그 조각의 크기와 방문 확률입니다. χ로부터 Dq를 구할 때에는 p가 같은 조각들은 모두 같은 크기를 갖는다고 가정했으나 여기서는 크기가 서로 다른 일반적인 경우를 다룹니다. 암턴;;; 이 식을 위의 방법대로 다시 쓰면,
$$\Gamma(q,\tau,l)=\sum_p N(p)\frac{p^q}{l^\tau}\sim l^{-f(\alpha)+q\alpha-\tau}$$
이 됩니다. l이 0으로 가는 극한에서 이 값이 0도 무한대도 아니려면 l 위의 지수가 0인 조건을 만족시켜야 합니다. 앞에서 얻은 결과를 이용하여 한꺼번에 쓰면 다음과 같습니다.
$$\tau(q)=q\alpha(q)-f(\alpha(q))=(q-1)D_q$$
그럼 변형된 칸토어 집합(Cantor set)에 대해 이 방법을 적용해보겠습니다. 길이가 1인 선분을 길이가 l1, l2인 두 개의 선분만 남기고 지웁니다. 남은 각 선분을 방문할 확률은 각각 p1, p2라고 합시다. 여기서는 다음 조건을 만족하는 경우만 생각합니다.
$$l_1+l_2<1,\ l_1<l_2,\ p_1+p_2=1$$
남은 각 선분을 역시 같은 방법으로 자릅니다. 그러면 길이가 l1의 제곱인 선분 1개, l1l2인 선분 2개, l2의 제곱인 선분 1개가 생깁니다. 이런 식으로 n번 쪼개고 나면 2n개의 조각들이 생길 겁니다. 그러면 위의 분배함수는 아래처럼 쓸 수 있습니다.
$$\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\frac{p_1^q}{l_1^\tau}+\frac{p_2^q}{l_2^\tau}\right]^n=\sum_m{n\choose m}\frac{p_1^{mq}p_2^{(n-m)q}}{(l_1^ml_2^{n-m})^\tau}$$
n이 매우 클 때에 Γ가 유한하려면 그냥 Γ=1이면 됩니다. 그리고 맨 오른쪽 식에서도 가장 큰 항만 보겠다고 한다면 각 항 중에서 가장 큰 항만 생각하면 됩니다. 즉 m으로 미분해서 0이 되는 조건을 이용하면 다음 결과를 얻습니다.
$$\tau=\frac{\ln(n/m-1)+q\ln(p_1/p_2)}{\ln(l_1/l_2)}$$
이 조건을 만족시키는 항만 살아남는다고 한다면,
$${n\choose m}\frac{p_1^{mq}p_2^{(n-m)q}}{(l_1^ml_2^{n-m})^\tau}=1$$
이겠죠. 여기에 위의 τ를 넣어서 정리하면 아래의 결과를 얻습니다.
$$\ln(n/m)\ln(l_1/l_2)-\ln(n/m-1)\ln l_1=q(\ln p_1\ln l_2-\ln p_2\ln l_1)$$
즉, q가 주어져 있다면 이로부터 n/m을 얻고, 이로부터 τ도 계산됩니다. 그러면 차원 Dq도 얻어지겠죠.
다음으로 α와 f(α)는 이 글의 맨 처음에 정의한 방식으로부터 그대로 계산됩니다.
$${n\choose m}=(l_1^ml_2^{n-m})^{-f},\ f=\frac{(n/m-1)\ln(n/m-1)-(n/m)\ln(n/m)}{\ln l_1+(n/m-1)\ln l_2}$$
$$p_1^mp_2^{n-m}=(l_1^ml_2^{n-m})^{\alpha},\ \alpha=\frac{\ln p_1+(n/m-1)\ln p_2}{\ln l_1+(n/m-1)\ln l_2}$$
역시 주어진 q에 대해 n/m이 얻어졌다면 이로부터 위의 지수들도 얻을 수 있습니다. 또한 이 식들을 정리하면 앞에서 얻은 관계식 τ = qα - f(α)가 나온다고 하네요.
이제 차원 Dq가 어떤 모양이 되는지 보겠습니다. q가 유한하다면 그냥 앞에서 말한대로 풀어버리면 됩니다. 특히 q가 0인 경우에 D0은 f와 같습니다. q가 양의 무한대이거나 음의 무한대라면 조금 다르게 생각해야 합니다. 분배함수를 다시 쓰겠습니다:
$$\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n$$
q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p1 / ln l1이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p2 / ln l2일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다. 정리하면,
$$D_{\infty}=\ln p_1/\ln l_1,\ D_{-\infty}=\ln p_2/\ln l_2$$
입니다. 이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다. 두 경우 모두 f는 0이고 각 α는 각 D가 됩니다. 그런데 어느 경우에도 Γ는 1이 되지 않습니다. 사실 앞에서 Γ=1은 n이 매우 클 때 Γ가 유한해야 한다는 조건에서 나온 것인데, n이 유한하기만 하다면 Γ가 굳이 1이어야 할 필요는 없으므로 문제되지 않을 수도 있습니다.
논문에 있는 내용과 제 해석(?)이 뒤섞여 있으므로 모호한 부분이 있다면 제가 제대로 이해하지 못했기 때문일 것입니다. 사실 이렇게 수식만 나열해서는 '여러겹 쪽거리'가 뭔지 모를 것 같네요. 일단 이 글은 마치겠습니다.
