처음에는 spherical model을 '구모형'으로 옮길까 하다가 물리용어조정안을 찾아보니 '구면모형'으로 부르더군요. 생각해보니 이게 맞습니다. 이 글에서는 패쓰리아의 책 12.4절의 구면모형을 다루고자 합니다.

스핀이 +1 또는 -1 중 하나의 값만을 갖는 이징 모형을 일반화하려는 시도가 꾸준히 있었는데요, 그러한 시도 중 하나가 칵(Kac)의 가우스 모형(Gaussian model)입니다. 각 스핀은 음의 무한대부터 양의 무한대까지의 값을 갖되 가우스 확률분포를 따르도록 하는 겁니다. 그러면 정확한 해를 2차원까지밖에 모르는 이징 모형에 비해 임의의 차원에서 정확한 해를 구할 수 있다고 합니다. 다만 2보다 큰 차원에서는 잘 맞지만, 2 이하의 차원에서는 분배함수의 적분이 발산해버린다고 합니다.

이렇게 발산하는 문제를 해결하기 위해 스핀들의 제곱의 총합이 제한되는 제약조건을 추가했다고 하네요.

$$\sum_{i=1}^N \sigma_i^2=N$$

이 조건을 머리 속에 그려보면, N개의 σi가 N차원 수퍼스핀의 각 성분이라고 생각할 수 있습니다. 이 수퍼스핀의 크기는 N의 제곱근이고요. 다시 말해서 이 수퍼스핀은 반지름이 N1/2인 N차원 초구의 표면 위의 한 점을 가리킨다고 할 수 있습니다. 그래서 구면모형이라 불립니다.

그런데 각 스핀에 대해서는 정준 앙상블(canonical ensemble; 바른틀 모둠) 평균을 쓰면서도 수퍼스핀에 대해서는 소정준 앙상블(microcanonical ensemble; 작은 바름틀 모둠) 평균을 쓰는 문제(?)가 있다고 하네요. 수퍼스핀에 대해서도 정준 앙상블을 쓰고자 위의 제약조건을 다음처럼 바꿀 수 있습니다.

$$\left\langle \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 \right\rangle =N$$

꺽쇠는 정준 앙상블 평균을 뜻합니다. 이걸 '평균 구면모형(mean spherical model)'이라 부릅니다. 굳이 풀어보자면 수퍼스핀이 구면을 벗어나기도 하지만 평균적으로 구면 위에 있다는 거겠죠.

이 제약조건을 고려하여 해밀토니안을 써보겠습니다.

$$H=-J\sum_{n.n.}\sigma_i\sigma_j-\mu B\sum_i\sigma_i+\lambda\sum_i \sigma_i^2$$

우변의 첫번째 합에서 n.n.은 nearest neighbor의 준말인데, 이웃한 스핀에 대해서만 더해주라는 말입니다. 여기서 λ를 구면 장(spherical field)이라 부른답니다. 위의 제약조건은 이제 다음처럼 쓸 수 있습니다.

$$\left\langle \frac{\partial H}{\partial \lambda}\right\rangle=N$$

분배함수는...

$$Z_N(K,h;\beta\lambda)=\int_{-\infty}^\infty \cdots\int_{-\infty}^\infty e^{-\beta\lambda\sum_i\sigma_i^2+K\sum_{n.n.}\sigma_i\sigma_j+h\sum_i\sigma_i}\prod_id\sigma_i$$

가 됩니다. 여기서 K와 h는 각각 βJ, βμB입니다. 이제 이걸 가만 보면 앞 글에서 증명한 가우스 변환이 생각나시죠? 직접 대조해보면 어떻게 적용해야 하는지 눈에 보입니다. 가우스 변환은 아래와 같습니다.

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\sum_{i,j}\sigma_iA_{ij}\sigma_j+\sum_i h_i\sigma_i}\prod_i d\sigma_i =\frac{(2\pi)^{N/2}}{|A|^{1/2}}e^{\frac{1}{2}\sum_{i,j}h_iA_{ij}^{-1}h_j}$$

우변을 보면 -βλ와 K로 이루어진 행렬의 고유값과 역행렬을 구해야만 한다는 게 보입니다. 1차원 격자 위에서 이 문제를 푼다고 하면 A는 다음과 같은 모양으로 나오겠죠.

$$A=2 \begin{pmatrix} \beta\lambda & -K & 0 & \cdots & 0 \\ -K & \beta\lambda & -K & \cdots & 0 \\ 0 & -K & \beta\lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \beta\lambda \end{pmatrix}$$

이제 일반적인 d차원 단순사각격자(simple hypercubic lattice)를 생각하는데요, d차원 격자의 크기는 L1 × L2 × ... × Ld이며 주기경계조건을 씁니다. 행렬 A의 고유값을 μk라고 하면 분배함수가 다음처럼 나온답니다. (μ의 아래첨자 k는 d차원 벡터이고, a는 격자상수입니다.)

$$Z_N(K,h;\beta\lambda)=\prod_k \left[\frac{\pi}{\beta(\lambda-\mu_k)}\right]^{1/2}e^{Nh^2/4\beta(\lambda-\mu_0)}$$

$$\mu_k=J\sum_{j=1}^d\cos(k_ja),\ k_j=\frac{2\pi n_j}{L_j}\ (n_j=0,\cdots,N_j-1)$$

$$N_j=L_j/a,\ N=\prod_jN_j$$

가장 간단한 경우, 즉 단 두 개의 스핀이 상호작용하는 시스템의 분배함수는 위 결과와 똑같지만, 여기서 구한 고유값이 위의 μk는 아닙니다. 이게 조금 다르지만 분배함수는 어쨌든 똑같이 나옵니다. 분배함수를 구했으니 이제 이걸 지지고 볶아서 다양한 물리량도 구해내고, 상전이도 보고, 임계지수도 구하는 일만(?) 남았네요.