오늘 세미나에서 리뷰된 논문에 대해 간단히 정리하겠습니다. 제목은 "Effects of network topology on wealth distributions"이며 이탈리아 시에나 대학의 물리학자와 수학자(수리정보과학과 소속이면 수학자로 쳐도 되나요?;;)가 함께 써서 2008년 <저널 오브 피직스 에이>에 낸 겁니다.
어떤 사람 i가 시각 t에 소유한 부(wealth)를 wi(t)라 합시다. 이 사람의 부가 다음처럼 시간에 따라 변한다고 합시다.
$$\frac{dw_i(t)}{dt}=\eta_i(t)w_i(t)$$
여기서 η는 평균과 분산이 유한한 어떤 확률변수라고 합니다. w의 분포 즉, P(w)는 로그정규분포가 됩니다. 이제 여기에 새로운 노이즈(확률변수)를 '더해'줍니다. 이걸 '더하기 노이즈(additive noise)'라고 합시다.
$$\frac{dw_i(t)}{dt}=\eta_i(t)w_i(t)+\xi_i(t)$$
이제 P(w)는 거듭제곱 꼴이라고 합니다. 이때 거듭제곱 지수를 α라고 하면
$$\langle \eta_i(t)^\alpha\rangle=1$$
으로부터 결정된다고 합니다. 왜 그런지 궁금한데, 모르겠네요.
실제로 미국이나 일본이나 P(w)는 w가 작을 때 로그정규분포, w가 클 때 거듭제곱 꼴이라고 하는데요, 이걸 어떻게 단순한 모형으로부터 만들어낼 수 있을까가 이 논문에서 하려는 바입니다.
부쇼-메자르 모형(Bouchaud and Mezard, 줄여서 BM 모형; 발음이 맞나요?;;)은 다음처럼 씌어집니다.
$$\frac{dw_i(t)}{dt}=\eta_i(t)w_i(t)+\sum_{j\neq i}J_{ij}w_j(t)- \sum_{j\neq i}J_{ji}w_i(t)$$
Jij는 j가 i에게 전달하는 부의 비율...로 생각할 수 있겠죠. 그리고 이렇게 함으로써 모형에 연결망 구조를 도입할 수 있게 됩니다. 만일 모든 Jij가 같은 값을 갖는다면, 즉 J라면 어떻게 될까요.
$$\frac{dw_i(t)}{dt}=\eta_i(t)w_i(t)+J(\langle w(t)\rangle - w_i(t)), \textrm{ where } \langle w\rangle=\sum_i \frac{w_i}{N}$$
이 경우 P(w)는 정확하게 구할 수 있답니다. w가 매우 클 경우 지수가 - (1 + α)인 거듭제곱 꼴을 보여주는데, 여기서 α는 1 + J / σ2이며, 2σ2은 η의 분산입니다. J가 작으면 로그정규분포가 나올테고, J가 크면 J 항이 더하기 노이즈의 역할을 해서 거듭제곱 꼴이 나올테니, 적당한 J에 대해 로그정규 + 거듭제곱 꼴이 나오지 않을까라고 생각했는데 논문에서는 이걸 짐작(suspect)한다고만 해놓고 증명도 반증도 하지 않은채 넘어갑니다.
그리고 다른 분이 지적하셨듯이 위의 J 항은 이웃한 노드들의 재산을 균질하게 하는 역할을 하는데 이건 빈익빈 부익부와 반대되는 메커니즘 아니냐는 문제가 있습니다. 이에 대해 또다른 분이 빈익빈 부익부 메커니즘은 많이 얻기만 하는게 아니라 많이 얻으면서 많이 잃어야 제대로 구현된다고 하셨는데, 그건 이미 η에 의해 구현되고 있다고 볼 수도 있습니다. 어쨌든 제가 앞에서 생각한대로 J가 크면 그 항이 '노이즈'로 작용할 거라고 생각했는데 w의 평균에 비례하므로 이런 '평균'을 '노이즈'로 이해하는데 무리가 있는 것으로도 보입니다.
이 논문은 그 대신 로그정규분포와 거듭제곱분포를 중첩하는 방법을 씁니다. N개의 노드 중 M개의 노드는 서로 완전히 연결되어 있고 나머지 N - M개는 링크가 없는 외톨이 노드라고 하자는 겁니다.
$$P(w)=\frac{M}{N}P_{\rm power-law}(w)+\left(1-\frac{M}{N}\right)P_{\rm log-norm}(w)$$
그래서 적절한 M / N에서 로그정규 + 거듭제곱분포가 나온다는 걸 보여줍니다. 문제를 에둘러 갔다는 생각이 듭니다. 뭐 나름 한 가지 설명 방식이 될 수는 있겠지만요.
그런데 더욱 문제인 건 로그정규분포의 꼬리의 지수는 1입니다. 반면 거듭제곱분포의 지수는 2 + J / σ2입니다. 거듭제곱지수는 J 등의 값과 무관하게 이미 1보다 크므로 큰 w에서 거듭제곱분포의 꼬리보다 로그정규분포의 꼬리가 우세해져서 결국 모든 w의 영역에서 로그정규분포만 나타날 거라는 게 제 생각입니다. 애초에 위와 같은 '중첩'의 방법은 무의미하다는 거죠. 이런 상황에서 컴퓨터 시늉내기를 아무리 해봐야 원하는 결과를 얻기 힘들어보이고, 실제로 논문에 실린 컴퓨터 시늉내기 결과 그림도 썩 좋아보이지 않습니다. 끝.
