영거리 과정(zero range process; ZRP)에 대한 이전 글들을 참고하세요. 이 글 역시 에반스와 해니의 <저널 오브 피직스 에이>에 실린 리뷰 논문을 따릅니다. 서론은 빼고 일단 가봅시다.
큰 바름틀 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.
$$Z_L(z)=[F(z)]^L,\ F(z)=\sum_{m=0}^\infty z^mf(m)$$
이걸 구해야 이로부터 원하는 양들을 얻어낼 수 있는데요, 위의 F를 보면 이게 수렴하는지 아닌지부터 따져봐야 합니다. 이러한 거듭제곱 급수가 어떤 z에서는 수렴하다가도 다른 z에서는 수렴하지 않을 수 있는데 이를 나누는 값을 수렴반지름(radius of convergence)이라 합니다. 수렴반지름이 무한대라면 모든 z에 대해 F는 수렴하는 거고요. F의 수렴반지름을 β라 합시다. 입자의 밀도는 다음과 같습니다.
$$\rho=z\frac{F'(z)}{F(z)}$$
밀도는 z의 증가함수인데 (미분해보면 압니다) z=β에서 최대값을 가집니다.
$$\rho_c=\beta\frac{F'(\beta)}{F(\beta)}$$
그런데 이 ρc가 무한하다면 임의의 z에 대해 ρ가 존재하고요. 만일 ρc가 유한하다면 이보다 더 큰 밀도에서 위의 식들을 이용할 수 없게 됩니다. 여기서 '응집(condensation)'이 나타난다고 하네요. 쉽게 말해 공간(L)은 한정되어 있는데 입자를 마구 때려넣다(ρ 증가)보면 어떤 자리에 입자들이 많이 몰리기 시작한다는 겁니다. 여기서 '많이'는 입자의 총 개수의 상수배 정도 되는 양입니다. 이렇게 생긴 응집(즉 덩어리)은 위의 분배함수로는 기술할 수 없는 현상인데, 수학적으로는 F가 발산하는 거겠죠.
조금 더 구체적인 예를 봅시다.
$$f(n)\sim \frac{A}{\beta^nn^b}$$
이걸 맨위 F(z)에 넣고 다시 ρc를 구하는 식에 넣어주면,
$$\rho_c\sim \frac{\sum n^{1-b}}{\sum n^{-b}}$$
이 나옵니다. b가 2보다 크면 수렴할테고 그러면 앞서 말했듯 ρ를 ρc보다 크게 만들면 응집이 나타난다고 볼 수 있겠죠. 이제 각 자리에 있는 입자 개수의 분포 p(n)도 구해봅니다.
$$p(n)=\frac{z^nf(n)}{F(z)}\simeq \frac{(z/\beta)^n}{F(z)}\frac{A}{n^b}\sim n^{-b}e^{-n/n_0},\ n_0=\frac{1}{|\ln (z/\beta)|}$$
b가 2보다 작거나 같은 경우, ρc는 발산하며 위 식처럼 절단(cutoff)이 있는 거듭제곱 분포가 나옵니다. z를 적당히 조절하면 임의의 입자 밀도를 원하는대로 만들 수 있지요.
b가 2보다 큰 경우, n-b의 평균은 유한합니다. 그러므로 z를 β로 접근시켜도 위 분포에 의한 입자 밀도는 유한합니다. 그런데 우리가 입자를 더 때려넣을 수 있으므로 이 추가된 만큼의 입자들을 따로 관리(?)할 필요가 생기는데, 이 잉여;;들이 응집을 이룹니다. 이 응집은 하나의 자리에 모두 모일 수도 있고 여러 자리에 모일 수도 있는데, 간단한 논의로 b>2일 때는 한 자리에 모이는 게 더 가능성이 높다는 얘기를 할 수 있습니다. 이 잉여들이 모두 그 한 자리에 계속 쌓일테니 나머지 다른 공간은 계속 거듭제곱 분포를 따른채로 변하지 않겠죠.
ρ를 조절변수라고 한다면 ρc는 임계점인데 ρ가 임계점에서뿐만 아니라 임계점보다 커져도 응집을 제외하면 거듭제곱 분포를 따르는 현상이 관찰됩니다. 이걸 '자기조직화 임계성(SOC)'이라 부르기도 하는 것 같습니다. 뭐 SOC가 아주 한정적으로 쓰이는 건 아니니까 말을 그렇게 붙이는 걸 굳이 반대할 이유는 없지만 좀더 적확한 표현으로 '일반적 규모불변(generic scale invariance)'이라 부르는 게 낫지 않을까 합니다.
앞에서 든 f(n)의 예는 사실 정확하게 풀리는 경우입니다. 보통 f(n)보다는 뜀 비율(hop rate) u(n)이 가장 현상적인 함수인데요, 이 함수가 다음처럼 주어진다고 합시다.
$$u(n)=\beta(1+b/n),\ \forall n>0$$
여기서 b>2라고 합시다. 이로부터 f(n) 구하고 F(z)도 구하고 블라블라 풀면(그 과정에서 Pochhammer 기호도 나오고, 초기하함수도 나옵니다) 임계 밀도를 알 수 있습니다.
$$\rho_c=\frac{1}{b-2}$$
끝.
