$$H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\vec S_i\cdot\vec S_j$$
위와 같은 하이젠베르크 모형에서 스핀을 2차원 평면 격자 위의 고전적 스핀으로 생각하겠습니다.
$$\vec S_i=(\cos\phi_i,\sin\phi_i,0)\to H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\phi_i-\phi_j)$$
이걸 XY 모형이라고 부릅니다. XY 평면 위에서 정의된 스핀이라 그렇게 이름이 붙여진 것 같네요. 온도가 매우 낮아서 스핀들이 거의 같은 방향이라고 합시다. 그럼 코사인 항을 전개할 수 있습니다.
$$H=-\frac{qNJ}{2}+\frac{J}{2}\sum_{\langle ij\rangle}(\phi_i-\phi_j)^2=E_0+\frac{J}{2a^{d-2}}\int d^dr\nabla\phi\cdot\nabla\phi$$
보시다시피 해밀토니안의 첫번째 항은 변수 φ와 무관하므로 그냥 상수로 처리했습니다. q는 이웃수입니다. 두번째 항은 이웃한 두 스핀의 각도 차이입니다. 두번째 항은 지난 글에서 소개한 띄엄띄엄 가우스 모형(DG)과 매우 비슷한 모양입니다. 차이가 있다면 DG에서 h는 음의 무한대부터 양의 무한대까지의 정수였지만 여기서 φ는 0과 2π 사이의 실수이며 0과 2π는 같다고 칩니다. 두 가지 차이가 있죠. 연속이냐 아니냐, 순환이냐 아니냐.
모양만 보면 XY 모형에 적절히 퓨개서티를 도입하여 사인-고든 모형으로 변형할 수 있을 것 같습니다. 사실 지난 겨울학교에서도 배웠는데요, 여러 논문들에서도 2차원 XY 모형과 2차원 쿨롱 기체(Coulomb gas; CG) 모형과 2차원 사인-고든 모형(SG)이 동등하거나(equivalent) 비슷하다(analogous)고들 합니다. 이 글에서는 XY-CG 관계에 대해서만 살펴보려 합니다.
여튼 위 두번째 항에서 격자 위의 스핀을 연속적인 공간 위의 스핀으로 바꾸면 위 식의 마지막 항이 나옵니다. 일단 일반적인 d차원 공간이라고 생각했고 a는 격자 상수입니다. 이로부터 다음처럼 정의된 상관함수를 구합니다.
$$g(r)\equiv \langle e^{i[\phi(r)-\phi(0)]}\rangle\sim r^{-\eta(T)}\ \textrm{for}\ d=2$$
상관함수가 r에 대해 지수함수로 줄어들지 않고 r의 거듭제곱 꼴로 줄어듭니다. 또한 그 지수는 온도의 함수입니다. 임의의 0보다 큰 온도에서 상관함수가 거듭제곱 꼴 감소(또는 같은 뜻으로 대수적 감소; algebraically decaying)한다는 사실로부터 먼거리 질서가 존재하지 않는다는 결론이 나옵니다. 또한 거듭제곱 꼴은 임계상태를 뜻하므로 '0보다 큰 모든 온도에서 임계상태'라는... 말일까요?;;;
이징 모형의 질서 상태에서는 대부분의 스핀들이 같은 방향으로 정렬되어 있으며 아무리 멀리 떨어져 있는 두 스핀이라도 양의 상관관계가 있으며, 바로 그런 의미로 '먼거리 질서'가 있다고 합니다. 그런데 2차원 XY 모형에서는 멀리 떨어져 있는 두 스핀 사이의 상관관계가 결국 0으로 줄어듭니다. 게다가 그냥 줄어드는 것도 아니고 거듭제곱 꼴로 줄어드는데 지수함수적으로 줄어드는 것보다 느리게, 즉 뭔가 좀더 '질서' 비스무레한 상황이 벌어진다는 거죠.
하지만 매우 높은 온도에서는 스핀들이 무질서해지는 게 당연하므로, 어떤 온도에서는 일종의 '상전이'가 있을 거라고 예상할 수 있습니다. 이런 '상전이'를 가능하게 하는 메커니즘이 소용돌이 짝 풀기(vortex pair unbinding)입니다. 연속 대칭이 있는 스핀 시스템에는 소용돌이라는 게 생기는데 그 세기를 전하(charge)라 부르며 양의 정수 또는 음의 정수로 나타냅니다. 전하가 +1인 소용돌이와 -1인 소용돌이가 서로 '인력'에 의해 묶여 있다가 온도가 높아질수록 얘네들이 서로 멀어지고 어느 순간 서로의 인력을 벗어나 제멋대로 돌아다닐 때를 '무질서 상태'라 부릅니다. 소용돌이의 개수도 온도가 높아질수록 많아지겠죠.
그런데 이런 소용돌이 짝의 에너지가 마치 2차원 평면 위에서 쿨롱 상호작용을 하는 전하들의 에너지와 비슷한 모양이라 이를 '2차원 쿨롱 기체 모형'으로 여길 수 있습니다. 소용돌이 짝의 에너지는 다음과 같습니다.
$$E(r_1,r_2)=-2\pi J n_1n_2\ln\left|\frac{r_1-r_2}{a}\right|$$
n들은 두 소용돌이의 전하이고 r은 각 전하의 위치겠죠. 두 소용돌이 사이의 에너지는 거리의 로그에 비례합니다. 이는 2차원 공간에서 두 전하 사이의 상호작용과 같은 모양입니다.
이 글의 내용은 플리쉬케의 <Equilibrium Statistical Physics> 3판에서 섹션 6.6 Kosterlitz-Thouless Transition을 참고하여 정리했습니다.
