우선 왜 연결망에 관한 경제학 연구인가.를 보겠습니다. 개별 행위자들은 다른 행위자들과 링크를 할 '동기'를 갖는다는 것이 중요합니다. 그런데 당사자 사이의 동기에 의한 링크의 형성은 그 주변의 다른 행위자들의 보수에도 영향을 준다는 면에서 외부성이 있으며 또한 전략적 측면을 갖습니다. 여기서 이를 모형으로 만들 때 한 행위자가 다른 행위자와 링크를 만들어서 얻는 수익(returns)을 어떻게 정의할지가 문제됩니다. 링크를 만들고 유지하는데 드는 비용과 그로부터 얻는 이익을 정의하는 문제겠죠.
다양한 모형이 가능하겠지만 여기서는 주로 한 행위자의 일방적인 동기와 두 행위자의 쌍방적인 동기에 초점을 맞춥니다. 일방적인 경우는 방향성 있는 연결망으로 나타날 것이고, 쌍방적인 경우는 방향성 없는 연결망으로 나타날 것입니다. 그래서 개인적인 동기에 의해 형성된 연결망은 어떤 모습이겠느냐가 중요한 문제입니다. 연결망의 내쉬균형을 찾는 문제이기도 하며, 또한 그 균형의 안정성을 평가하고, 더 일반적으로 연결망의 동역학을 보는 문제입니다.
그럼 일방 링크(one-sided links)에 관한 내용을 보겠습니다. 행위자(player) n명으로 이루어진 집합 N={1,2,...,n}을 생각합니다. 각 행위자의 전략은 자신을 제외한 나머지 행위자들과 각각 연결을 할지 말지로 이루어집니다. i가 j와 연결하고자 하면 1, 아니면 0을 갖는 sij로 이루어진 n-1차원 벡터로 표현합니다.
$$s_i=(s_{i1},\cdots,s_{ii-1},s_{ii+1},\cdots,s_{in})$$
각 행위자의 전략을 모아 만든 s를 전략쌍(strategy profile인데 <게임이론과 진화 다이내믹스>의 한국어 용어를 빌려 쓰겠습니다.)이라고 하겠습니다.
$$s=(s_1,s_2,s_3,\cdots,s_n)$$
하나의 전략쌍은 하나의 방향성 있는 연결망에 대응됩니다. 이 연결망을 g라 부르겠습니다. 행위자 i가 가리키는 이웃들과 그 수, 즉 나가는 이웃수(out-degree) 뿐 아니라 행위자 i를 가리키는 이웃들과 그 수, 즉 들어오는 이웃수(in-degree)를 정의합니다.
$$N_i^d(g)=\{j\in N|g_{ij}=1\},\ \eta_i^d(g)=|N_i^d(g)|$$
$$N_{-i}^d(g)=\{j\in N|g_{ji}=1\},\ \eta_{-i}^d(g)=|N_{-i}^d(g)|$$
그리고 방향성 있는 연결망에서 행위자 i로부터 방향성 있는 링크를 따라 도달할 수 있는 다른 행위자들의 집합에 자신을 포함시킨 후 그 원소의 개수를 ni(g)라고 씁니다. 이제 이로부터 행위자의 보수(payoff)를 다음처럼 정의하는 '일방 흐름 모형(one-way flow model)'을 소개합니다. 수식을 보기 전에;; 말로 먼저 풀어쓰면, 행위자 i로부터 도달가능한 다른 행위자가 많을수록 i의 보수가 높아지지만 i의 나가는 이웃수가 커지면 그만큼 링크 유지 비용이 들어서 보수가 줄어든다는 말입니다:
$$\Pi_i(g)=\phi(n_i(g),\eta_i^d(g))$$
여기서 φ는 첫째 인수에 대해 증가함수, 둘째 인수에 대해 감소함수로 정의하면 되겠죠. 바로 다음에 '쌍방 흐름 모형(two-way flow model)'이 소개됩니다. 이를테면 통화를 할 때 전화를 건 사람이 통화비용을 부담하지만 '서로' 정보를 나눔으로써 서로에게 이익이 될 수도 있죠. 이를 위해 방향성 있는 연결망에서 링크의 방향을 고려하지 않고 행위자 i로부터 도달가능한 다른 행위자의 수를 ni(g)에서 n에 모자를 씌워 나타냅니다. 그럼 위 보수는 다음처럼 고쳐쓰면 됩니다.
$$\Pi_i(g)=\phi(\hat n_i(g),\eta_i^d(g))$$
이 모형들은 예제로 소개된 거고, 이제 일반적으로 연결망의 동역학을 보겠습니다. 이산적인 시간, 즉 t=1,2,...을 고려합니다. 각 시각에서 0과 1 사이의 p의 확률로 한 행위자가 자신의 전략을 바꿀 기회를 얻습니다. 이 행위자는 연결망 구조를 모두 알고 있다고 가정하며, 자신의 보수를 최대로 만드는 전략을 선택합니다. 물론 그동안 다른 행위자들은 가만히 있고요. 그럼 시시각각 연결망이 변하겠죠. 변하다보면 더이상 변하지 않는 연결망에 도달할 수도 있고, 몇 가지 연결망 사이를 빙빙 돌 수도 있습니다. 즉 연결망의 상태공간 위에서 고정점(fixed point)에 수렴하거나 끝돌이(limit cycle) 상황에 놓이는 거죠. 고정점/끝돌이 모두 비선형 동역학에서 나온 말인데 여기서는 제가 편의상 쓴 거고 이 책에서는 이런 용어를 쓰지는 않는 듯 합니다.
다음으로 쌍방 링크(two-sided links) 내용이 나오는데, 다음 글에서 쓰거나 나중에 쓰거나...;;;
