짝으로 안정하다(pairwise stable)는 정의는 한 번에 링크 하나를 더하거나 없애는 경우의 안정성에 관한 거죠. 이를 확장하여, 여러 링크를 동시에 더한다거나 하는 문제를 앞 글 마지막 예제에서 다루었습니다. 또 다르게 생각해볼 경우로서, 연결되지 않은 두 행위자 사이에 링크를 만들되 '동시에' 이 행위자들의 다른 링크들을 끊는 경우를 생각합니다. 네 명의 행위자로 이루어진 다음 예제를 봅시다.
이런 맥락에서 쌍방 균형(bilateral equilibrium)을 정의합니다. 여기서도 쌍방 균형 연결망 g*를 만드는 전략쌍 s*가 존재한다는 조건이 우선이고요. 임의의 두 행위자 i와 j에 대해서, 그리고 이들의 모든 가능한 전략 si와 sj에 대해서 다음 조건을 만족시켜야 합니다.
$$\Pi_i(g(s_i,s_j,s^*_{-i-j}))> \Pi_i(g(s^*_i,s^*_j,s^*_{-i-j}))$$
$$\Rightarrow \Pi_j(g(s_i,s_j,s^*_{-i-j})) < \Pi_j(g(s^*_i,s^*_j,s^*_{-i-j}))$$
즉 i와 j를 제외한 모든 행위자들의 전략이 주어져 있을 때 i와 j가 함께 전략을 바꾸는 경우 한쪽에만 이득이 되고 다른 쪽에는 손해가 된다면 i와 j는 전략을 바꾸지 않을 것입니다.
그런데 두 행위자가 '약속'한대로 하지 않을 가능성을 고려할 수 있습니다. 위 예제에 덧붙여 아래처럼 보수가 매겨진다고 합시다.
역시 이런 맥락에서 쌍방증명 균형(bilateral-proof equilibrium)을 정의합니다. 역시 균형 연결망 g*를 만드는 NE 전략쌍 s*가 존재해야 하고요. 임의의 두 행위자 i와 j에 대해, 그리고 이들의 모든 가능한 전략 si와 sj에 대해서 다음 조건을 만족한다면
$$\Pi_i(g(s_i,s_j,s^*_{-i-j}))> \Pi_i(g(s^*_i,s^*_j,s^*_{-i-j}))$$
다음 두 조건 중 하나가 뒤따라야 합니다.
$$\textrm{(a)}\ \Pi_j(g(s_i,s_j,s^*_{-i-j})) < \Pi_j(g(s^*_i,s^*_j,s^*_{-i-j}))$$
$$\textrm{(b) if}\ \Pi_j(g(s_i,s_j,s^*_{-i-j})) \geq \Pi_j(g(s^*_i,s^*_j,s^*_{-i-j})),$$
$$\textrm{then}\ \exists k,l\in\{i,j\},\ k\neq l,\ \textrm{and some}\ \tilde s_k\in S_k\ \textrm{such that}$$
$$\Pi_k(g(\tilde s_k,s_l,s^*_{-k-l}))> \Pi_k(g(s_k,s_l,s^*_{-k-l}))\ \textrm{and}$$
$$\Pi_l(g(\tilde s_k,s_l,s^*_{-k-l}))< \Pi_l(g(s^*_k,s^*_l,s^*_{-k-l}))$$
말로 풀어보죠. NE로부터 벗어나는 조정 이탈(si, sj)이 i에게 명백한 이득을 주는 경우 j는 손해가 나야 NE로부터 벗어날 수가 없습니다. 이게 조건 (a)입니다. (b)의 경우, 이 조정 이탈로 i는 명백히 이득인데 j 역시 손해를 보지 않는 경우입니다. k=i, l=j라고 합시다. 이때 i의 또다른 전략, 즉 물결을 뒤집어 쓴 si가 존재해서 조정 이탈의 약속을 지키지 않음으로써 이득이 생기는 경우, j는 NE일 때 보수에 비해 손해를 본다는 말입니다. (b)만 정리하면, 조정 이탈로 둘 모두에게 이득이라면, 조정 이탈 약속을 지키지 않는 행위자는 이득이되 상대는 NE일 때보다 손해를 보는 경우가 존재해야만 쌍방증명 균형이 된다.는 말입니다. 조정 이탈에서 한 번 더 이탈할 동기가 있다면 당연히 한 번 더 이탈하는 게 합리적 행위자일텐데 그때 상대가 손해를 본다면 애초에 조정 이탈도 불가능해진다는 거죠.
이제 여기서 더 나아가서;;; 조정 이탈을 여럿이서 할 수도 있습니다. 3명 이상의 행위자가 짜고 NE로부터 벗어나고자 할 때가 있겠죠. 또는 더 근본적으로 링크를 두 행위자 사이에서만 정의하지 말고 3명 이상의 행위자 사이에서도 정의할 수 있습니다.
여기까지 하고 다음에는 쌍방링크의 동역학에 대한 짧은 소개 및 기타가 남아있습니다.
