1장의 제목은 선호(preferences)다. 일단 선택의 문제와 무관하게 선호를 다룬다. 앞 글 소개에서 말한 쓸만한 대안들에 '순서'를 매기는 거라고 보면 된다. 선호의 정의는 다음과 같다.
정의1
집합 X에서 선호는 X의 서로 다른 원소쌍 (x, y)에 다음 세 개의 '값' 중 하나를 대응시키는 함수 f다: x를 y보다 선호한다(\(x\succ y\)), y를 x보다 선호한다(\(y\succ x\)), 똑같다(I). 그리고 X의 서로 다른 세 원소 x, y, z에 대해 다음 두 성질을 만족한다.
- 순서효과 없음(no order effect): f(x,y) = f(y,x)
- 이행성(transitivity): 만일 f(x,y) = \(x\succ y\)이고 f(y,z) = \(y\succ z\)이면, f(x,z) = \(x\succ z\)이다. 또한 f(x,y) = I이고 f(y,z) = I이면, f(x,z) = I이다.
정의1과 조금 다르게 생겼지만 동등한 정의2가 소개된다.
정의2
집합 X에서 선호는 다음을 만족하는 이항관계 \(\succsim\)다.
- 완전성: X의 어떤 원소 x, y에 대해서도 \(x \succsim y\) 또는 \(y \succsim x\)이다.
- 이행성: X의 어떤 원소 x, y, z에 대해서도 만일 \(x \succsim y\)이고 \(y\succsim z\)이면, \(x \succsim z\)이다.
딱 보면 알겠지만 정의1이 부등호를 이용했다면 정의2는 부등호+등호를 이용했다. 어느 쪽이든 이 정의들을 이용해서 집합 X에 속한 원소들 사이의 선호관계를 일관되게 나타낼 수 있다.
연습문제는 다섯개인데 그중 2번 문제는 선호에 대한 역시 조금 다른 정의이며 크렙스(Kreps)가 제시했다고 한다. (수식을 써넣기 귀찮음;;) 위 정의2의 대우명제들로 구성되어 있다고 보면 된다.
문제 3번은 1984년에 칸나이와 펠렉(Kannai & Peleg)의 논문(Journal of Economic Theory 32, 172-175 (1984))에서 정의된 집합'들'에 대한 선호관계에 기반하고 있다. Z를 집합이라고 하고 Z의 공집합이 아닌 부분집합들의 집합을 X라고 할 때 X의 원소들 사이의 선호관계라는 말이다. 일단 개념을 이렇게 확장할 수 있는 게 재미있다. 역시 수식을 넣기 귀찮아서 가능한 말로 풀어보련다. A, B, C 모두 X의 원소라고 하자.
1. A가 B보다 선호되고 C가 A, B 모두와 공유하는 원소가 없다면, A와 C의 합집합은 B와 C의 합집합보다 선호된다. 여기서 '선호된다'를 '선호되거나 같다'로 바꾼 성질도 성립한다. [단조성(monotonicity)]
2. Z의 원소 x에 대해, A의 모든 원소 y에 대해 {x}가 {y}보다 선호된다면, A와 {x}의 합집합은 A보다 선호된다. Z의 원소 x에 대해, A의 모든 원소 y에 대해 {y}가 {x}보다 선호된다면, A는 A와 {x}의 합집합보다 선호된다. [가든포스 원리(Gardenfors principle; GP)]
위 단조성 조건은 칸나이와 펠렉 논문과 살짝 다른데, 그래서 위 논문에서 증명한 정리(theorem)가 이 문제에 그대로 적용되지 않는다.
참고로, 가능한 원래 용어에 맞는 한국어 용어를 찾으려 노력할테지만 그래도 내멋대로 옮길 것 같다. 의견주시면 언제나 환영한다.
