이 장은 1장에서 다룬 선호를 효용으로 표현하는 방법을 다룬다. 집합 X의 원소들(쓸만한 대안들)을 각각 실수에 대응시키는 함수 U가 효용함수이며 이런 함수가 존재할 때 선호 \(\succsim\)는 효용표현(utility representation)을 갖는다고 말한다. "x가 y보다 선호되거나 같다"를 효용함수로 표현하면 "U(x)가 U(y)보다 크거나 같다"가 된다:
$$x\succsim y\ \textrm{if and only if}\ U(x)\geq U(y)$$
그러면, 어떤 가정하에서 효용표현이 존재하는가? 우선, X의 유한한 부분집합인 A에는 최소 원소가 있다는 도움정리(lemma)에서 시작한다. (앞으로 꼭 필요하지 않으면 증명은 생략한다.) 이 최소 원소, 즉 가장 덜 선호되는 원소에 1을 대응시키고, 그 다음 가장 덜 선호되는 원소에 2를 대응시키고... 이를 되풀이하면 자연수를 갖는 효용함수로 이 선호를 표현할 수 있다. 또한 X 위의 선호관계는 (-1,1)의 값을 갖는 효용함수로 표현할 수도 있다.
다음으로 사전식 선호(lexicographic preference)를 정의한다. 두 원소 중 어느쪽을 선호할지 결정하는 과정에서 여러 개의 기준(criteria)을 차례대로 적용할 수 있다. 모두 L개의 기준이 있다면, 다음 둘 중 하나의 조건을 만족할 때 \(x\succsim_L y\)라고 쓴다.
(1) k*보다 작은 모든 k에 대해, \(x\sim_k y,\ x\succ_{k^*} y\)인 k*가 있을 때
(2) 모든 k에 대해 \(x\sim_k y\)일 때.
그런데 사전식 선호는 효용표현을 갖지 않는다고 한다. 예를 들어, X가 [0,1] * [0,1]인 단위 정사각형일 때 이 X의 원소들을 실수에 대응시킬 수 없다.
다음으로 선호의 연속성을 다룬다. a가 b보다 선호된다면 a와 살짝 다른 것이 b와 살짝 다른 것보다 여전히 선호된다는 말이다. 선호관계의 연속성은 다음처럼 두 가지 방법으로 정의할 수 있다. 강의노트에서는 제대로 정의된 것을 내멋대로 일부 풀어썼음을 밝혀둔다.
정의1
X의 원소 a, b에 대해 \(a\succ b\)라면, a 주변의 모든 원소 x와 b 주변의 모든 원소 y에 대해 \(x\succ y\)이다. ('a의 주변'은 a로부터 거리가 r 미만인 영역을 가리킨다. r은 임의로 작을 수 있다.)
정의2
선호관계 그래프는 닫힌 집합이다. 즉 모든 n에 대해 \(a_n\succsim b_n\)이고 an이 a에 수렴하고 bn이 b에 수렴한다면 \(a\succsim b\)이다.
강의노트에서는 이 두 정의가 동등함을 증명한다.
드브레 정리(Debreu's theorem)는 "연속 선호는 연속 효용표현을 갖는다"는 정리다. 도움정리부터 보자.
도움정리
볼록집합 \(X\subseteq R^n\)에서 정의된 연속 선호관계 \(\succsim\)에 대해, \(x\succ y\)라면 \(x\succ z\succ y\)인 z가 존재한다.
직관적으로 맞는 말 같다. 그리고 볼록집합이 아니어도 연결되기만 해도 성립한다고 한다.
명제
X가 Rn의 볼록한 부분집합이라고 가정하자. \(\succsim\)가 X 위의 연속 선호관계라면 \(\succsim\)는 효용표현을 갖는다.
증명은 생략한다. 미적분 처음 배울 때 연속, 극한의 개념들을 배우던 기억이 난다. 연습문제들을 죽 훑어봤는데 예를 제시하라는 문제는 못풀겠고;; 증명하라는 문제는 직관적으로 맞다 싶으면 패쓰. 수학이 아니라 산수가 필요한 것만 하나 풀어봤는데 쓰기가 귀찮다. 역시 패쓰.
