4장의 제목은 소비자 선호(consumer preferences)다. 대안들의 전체집합 X는 다음과 같이 씌어진다고 가정하자.
$$\mathbb{R}^K_+=\{x=(x_1,\cdots,x_K)| x_k\geq 0\ \forall k\}$$
상품 k의 양을 xk라고 할 때 이것들의 조합을 x로 쓰고 꾸러미(bundle)라고 부른다. X에 대해 세 가지 성질을 논의할텐데, 단조(monotonicity), 연속(continuity), 볼록함(convexity)이다. 또한 어떤 꾸러미 x와 동등하게 선호되는 y의 집합인 '무차별 곡선(indifference curve)'을 이용할 것이다.
단조
X에 속한 모든 x에 대해 다음 두 조건을 만족한다면 관계 \(\succsim\)는 꾸러미 y에서 단조롭다: 모든 k에 대해 \(x_k\geq y_k\)이면 \(x\succsim y\)이고, 모든 k에 대해 \(x_k>y_k\)이면 \(x\succ y\)이다.
그리고 X에 속한 모든 y에서 단조롭다면 관계 \(\succsim\)는 단조롭다(또는 "단조성을 만족한다")고 한다.
강한 단조
X에 속한 모든 x에 대해 다음 조건을 만족한다면 관계 \(\succsim\)는 꾸러미 y에서 강하게 단조롭다: 모든 k에 대해 \(x_k\geq y_k\)이고 \(x\neq y\)이면 \(x\succ y\)이다.
역시 X에 속한 모든 y에서 강하게 단조롭다면 관계 \(\succsim\)는 강하게 단조롭다.
단조와 강한 단조의 차이점을 보기 위해 K=2인 경우를 생각하면, 2차원 평면 위에서 \(x=(x_1,x_2)\)와 \(y=(x_1-\epsilon,x_2)\)를 비교해보면 된다. 한 상품의 양만 줄어들어도 x가 y보다 선호된다면 강한 단조다. 두 상품의 양이 모두 줄어들 때에만 x가 y보다 선호된다면 그냥 단조다. 단조보다 강한 단조가 더 '약한' 조건이라고 생각하여 아직도 헷갈리지만;;; 원래 헷갈릴 이유는 없다.
선호관계가 효용함수로 표현되는 경우, (강하게) 단조로운 선호는 (강한) 단조증가 효용함수로 표현된다. 몇 가지 예를 들어준다. \(\min \{x_1,x_2\}\)로 표현되는 선호는 단조이지만 강한 단조는 아니다. x1이 x2보다 작을 때 x2를 조금 바꿔도 선호가 달라지지 않으므로 그렇다. \(x_1+x_2\)는 한 양만 바꿔도 선호가 달라지므로 강한 단조다. 다음으로 유클리드 공간에서의 거리를 예로 든다.
$$d(x,y)=\sqrt{\sum(x_k-y_k)^2}$$
임의의 양수 ε에 대해, y로부터 ε보다 조금 떨어져 있는 어떤 x가 있고 x가 y보다 선호될 때 이 선호는 꾸러미 y에서 불만족스럽다(nonsatiated)고 한다. 여기서 "떨어져 있"다고 할 때 방향은 모든 방향을 뜻하는 것으로 보인다. 즉 y에 있을 때 불만족스럽기에 거기서 어떤 방향으로든 조금만 벗어나도 좋아지는 경우다. u(x)=d(x,x*)로 표현되는 선호관계는 단조롭지 않지만 x*가 0을 제외한 모든 꾸러미에서 불만족스럽다. 단조롭지 않은 이유는 x가 커질 때 u(x)가 줄어들 수도 있기 때문이다. 불만족스러운 이유는 x*가 0만 아니라면 x*로부터 어느 방향으로 움직이든 선호되기 때문이다.
연속
X에 속한 모든 a,b에 대해 a가 b보다 선호된다는 것이, 어떤 ε이 있어서 d(x,a)<ε이고 d(y,b)<ε인 임의의 x,y에 대해 x가 y보다 선호된다는 것을 뜻할 때 선호 \(\succsim\)는 연속이다.
주장
단조롭고 연속인 어떤 소비자 선호관계도 효용함수로 표현될 수 있다.
꾸러미 x는 최소한 0=(0,...,0)만큼 좋고, x를 이루는 양들 중 최대값을 xm이라고 할 때, M=(xm,...,xm)보다는 덜 좋다. 0과 M 모두 대각선 위에 있다. 연속이므로 0과 M을 잇는 대각선 위에 x와 동등하게 선호되는 꾸러미가 있다. 단조로우므로 그 꾸러미는 유일하다. 그걸 (t(x),...,t(x))로 나타내고, 효용함수를 u(x)=t(x)로 정의하자. 그럼 u는 선호를 나타낸다. 증명 끝.
이제 볼록함을 논의하기 위해 두 가지 직관을 보자. 첫째, x가 y보다 선호된다면, y에서 x로 가는 길 위의 꾸러미들 역시 y보다 선호된다. 강의노트에서는 개선(improvement)으로 쓰기도 한다. 둘째, z가 x와 y 사이에 있다면, x와 y 모두 z보다 더 좋기는 불가능하다. 이 두 직관은 다음처럼 공식화될 수 있다.
볼록함1
x가 최소한 y만큼 선호될 때(\(x\succsim y\)) 0과 1 사이의 α에 대해 αx + (1-α)y가 최소한 y만큼 선호된다면 선호관계 \(\succsim\)는 볼록함1을 만족한다.
볼록함2
모든 x,y,z에 대해 그리고 0과 1 사이의 α에 대해 z=αx + (1-α)y일 때 z가 최소한 x만큼 선호되거나 최소한 y만큼 선호된다면 선호관계 \(\succsim\)는 볼록함2를 만족한다.
볼록함3
모든 y에 대해 집합 \(AsGoodAs(y)=\{z\in X|z\succsim y\}\)이 볼록하다면 선호관계 \(\succsim\)는 볼록함3을 만족한다.
주장
선호관계 \(\succsim\)가 위 세 볼록함 중 하나를 만족한다면, 나머지 둘도 만족한다.
증명은 생략한다.
강한 볼록함
서로 다른 a,b가 최소한 y보다 선호되고 0과 1 사이의 λ에 대해 λa + (1-λ)b가 y보다 선호된다면 선호관계 \(\succsim\)는 강하게 볼록하다.
a,b,y가 모두 동등하게 선호된다고 하자. 즉 세 꾸러미 모두 같은 무차별 곡선 위에 놓여 있다. a와 b를 잇는 선분 위의 꾸러미들이 y보다 선호되려면, 그 선분은 무차별 곡선의 일부여서는 안된다. 볼록함2는 이를 허용한다. 바로 이게 그냥 볼록함을 강한 볼록함과 다르게 만든다. 예를 보자. \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\)로 표현되는 선호는 강하게 볼록하다. \(x_1+x_2\)는 볼록하지만 강하게 볼록하지는 않다. \(x^2_1+x^2_2\)는 볼록하지 않다. 볼록한지 어떤지 쉽게 알 수 있는 방법은 '등고선'을 그려서 그게 원점쪽으로 볼록하면 선호가 볼록하다고 할 수 있다.
유사 오목함(quasi-concavity)
모든 y에 대해 집합 \(\{x|u(x)\geq u(y)\}\)이 볼록하면 함수 u는 유사 오목하다.
오목한 함수가 일반적으로 다음과 같은 조건을 만족시킨다는 것을 떠올려보면 된다: 0 이상 1 이하인 수 λ에 대해
$$u(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \lambda u(x)+(1-\lambda)u(y)$$
그리고 결론적으로, 유사 오목한 효용함수로 표현되는 선호관계는 볼록하다.
다음으로 선호의 특수한 분류를 소개한다.
닮음선호 분류(The class of homothetic preferences)
0 이상인 α에 대해 x가 최소한 y만큼 선호되면, αx가 최소한 αy만큼 선호될 때, 선호\(\succsim\)는 닮아 있다.
일반적으로, λ차 동차함수인 효용함수, 즉 \(u(\alpha x)=\alpha^\lambda u(x)\)를 만족하는 효용함수는 닮아 있다. 사전식 선호도 닮아 있다고 한다.
주장
상품 꾸러미 공간 위에서 정의되는 닮아 있고, 연속이며, 단조로운 어떤 선호관계도 1차 동차함수인 연속 효용함수로 표현될 수 있다.
유사 선형선호 분류(The class of quasi-linear preferences)
e1=(1,0,...,0)과 0보다 큰 ε에 대해 x가 최소한 y만큼 선호된다는 것이 x+εe1이 최소한 y+εe1만큼 선호된다는 것을 뜻한다면 선호는 상품1에 대해 유사 선형이다.
주장
(최소한 상품1에 대해) 강하게 단조롭고 상품1에 대해 유사 선형인 어떤 연속 선호관계도 \(x_1+v(x_2,\cdots,x_K)\) 형태의 효용함수로 표현될 수 있다.
위 괄호는 원문을 따랐다. 이 주장을 증명하기 위해 다음 보조정리가 필요하다.
보조정리
단조롭고 연속이며 상품1에 대해 유사 선형이고 강하게 단조로운 선호관계 \(\succsim\)를 생각하자. 그러면 모든 \((x_2,\cdots,x_K)\)에 대해, \((0,x_2,\cdots,x_K)\sim (v(x_2,\cdots,x_K),0,\cdots,0)\)인 v가 있다.
즉, 상품1을 제외한 다른 모든 상품의 어떠한 조합에 대해서도 이와 동등하게 선호되는 상품1의 양(v)을 정할 수 있다는 말이다.
주장
모든 상품에 대해 강하게 단조롭고 유사 선형인, \(\mathbb{R}^K_+\) 위에서 정의되는 어떤 연속 선호관계라도 다음 형태의 효용함수로 표현될 수 있다.
$$\sum_{k=1}^K\alpha_k x_k$$
마지막으로 미분가능한 선호에 관한 논의가 나온다. 경제학에서 미적분을 사용하는 것에 관련하여 루빈슈타인은 경제이론에 대한 기계주의적(mechanistic) 접근을 피하고자 미적분을 되도록 안쓰려고 했다고 한다. 여튼, 선호의 미분가능성은 개선(improvement)방향이 개인의 한곳가격(personal local prices)에 의해 계산될 수 있다는 요구로 생각될 수 있다고 한다. 뭔 소리여.가 아니라... 미분이 어떤 순간의 변화율임을 생각하면 자연스러운 해석이다.
단조롭고 볼록한 선호만 생각하자. 어떤 벡터 z에 대해 x+z가 x보다 선호된다면 z는 개선이다. x로부터 d 방향으로 조금만 움직여도 개선이라면 d는 개선방향이다. D(x)를 x의 모든 개선방향의 집합이라고 하자. '방향'이라고 하면 단위벡터를 떠올리기 쉬운데(나만 그런가?), 여기서는 그렇지 않다. D(x)의 여러 성질을 살펴보자.
1. d가 D(x)의 원소라면 λd도 그렇다.
2. 선호가 강하게 볼록하면 어떤 개선도 개선방향이다.
3. 선호가 강하게 단조롭고, 연속이고, 복록하다면 어떤 개선도 개선방향이다.
4. 단조로울 때, 모든 k에 대해 dk가 0보다 크다면, d는 D(x)의 원소다.
사실 개선과 개선방향의 차이점이 불분명하다. 다음으로 선호의 미분가능성을 얘기하는데, 미분이라는 개념을 선호로 확장하는 내용으로 이해하면 될 것 같다. 이번 장은 여기까지.
