5장의 제목은 "수요: 소비자 선택(Demand: Consumer Choice)"이다. 예산집합(budget set)은 다음처럼 정의된다.
$$B(p,w)=\{ x\in X|px\leq w\}$$
w는 재화(wealth)로서 양수다. p는 꾸러미 x처럼 K 차원 벡터이며 역시 양수로 이루어지고 가격(price)으로 해석된다. px는 벡터 p와 x의 내적이다. 이를테면 돈(w)이 얼마 있는데, 이걸로 가격(p)이 다른 상품들을 각각 얼마나(x) 사는 게 좋을까 하는 문제로 볼 수 있다. 집합 B(p,w)는 옹골차고(compact) 묶여 있으며(bounded) 볼록하다(convex). 이런 B(p,w) 안에서 \(\succsim\)에 관해 최선인 꾸러미를 찾는 문제를 소비자 문제(consumer problem)라 부른다.
주장
\(\succsim\)가 연속인 관계면, 모든 소비자 문제는 해를 갖는다.
중명은 간단하다. 연속인 선호관계는 연속인 효용함수로 표현할 수 있으므로 최선의 꾸러미를 찾는 문제는 효용함수를 최대화하는 꾸러미를 찾는 문제가 된다. 예산집합은 옹골차고 효용함수는 연속이므로 해가 있다.
주장
1. \(\succsim\)가 볼록하면 B(p,w)로부터 선택에 관한 해의 집합도 볼록하다.
2. \(\succsim\)가 강하게 볼록하면 모든 소비자 문제는 많아야 한 개의 해를 갖는다.
이제 미분가능한 선호를 갖는 소비자 문제를 다룬다. 최적해에 관한 조건은 다음과 같다: 어떤 소비된 상품의 "달러당 가치(value per dollar)"는 다른 상품의 "달러당 가치"만큼은 커야 한다.
주장
소비자 선호가 미분가능하다고 하자. 효용함수를 x*에서 x의 각 성분으로 미분한 \(v_1(x^*),\cdots,v_K(x^*)\)를 "주관적 가치값들(subjective value numbers)"이라고 부르자. 여기서 x*를 소비자 문제의 최적 꾸러미라고 할 때, 어떤 소비된 상품 k에 대해(즉 \(x_k^*>0\)) 모든 다른 j에 대해 \(v_k(x^*)/p_k \geq v_j(x^*)/p_j\)이어야 한다.
여기서 \(v_k(x^*)=\partial u/\partial x_k(x^*)\)이다. vk/pk의 단위만 보면 u/(pkxk)다. 즉 어떤 상품 k를 사는데 쓴 재화당 효용, 다시 말해서 이 상품의 '가격대 성능비'가 최소한 다른 상품의 가격대 성능비와는 같아야 한다는 조건이다.
주장
x*가 소비자 문제 B(p,w)의 해이고 \(x_k^*\)와 \(x_j^*\)가 모두 양수라면, \(v_k(x^*)/v_j(x^*)=p_k/p_j\)이어야 한다.
주장
\(\succsim\)가 강하게 단조롭고 볼록하고 연속이고 미분가능할 때 x*에서 px*=w이고 \(x_k^*\)가 양수인 모든 k에 대해 \(v_k(x^*)/p_k \geq v_j(x^*)/p_j\)가 어떤 상품 j에 대해서도 성립한다면, x*는 소비자 문제의 해이다.
이제 시장모형(market model)을 만들기 위한 중요한 단계에 왔다. 먼저 B(p,w)가 유일한 해를 갖는다고 가정하고, 이를 x(p,w)라고 쓰자. 이를 수요함수(demand function)라 부른다.
주장
\(x(p,w)=x(\lambda p,\lambda w)\) 즉 수요함수는 0차 동차함수(homogeneous of degree zero)이다.
px=w라는 조건을 생각해보면 당연하다.
주장(발라스의 법칙; Walras's Law)
선호가 단조롭다면 소비자 문제 B(p,w)에 대한 해 x는 그것의 예산곡선(budget curve) 위에 있다. 즉 px(p,w)=w이다.
주장
\(\succsim\)가 연속이라면 수요함수는 가격과 재화에 대해 연속이다.
다음으로 합리화가능한(rationalizable) 수요함수라는 제목의 절이다. 어떤 (p,w)에 대해서도 꾸러미 x(p,w)가 B(p,w) 안에서 유일하게 \(\succsim\)를 최대화하는 꾸러미라면 선호 \(\succsim\)는 수요함수 x를 완전히 합리화한다(fully rationalize)고 한다. 예제가 나오는데 죽죽 넘어가서, 드러난 선호의 약하고 강한 공리들에 관해 논의한다. 여기서는 수요함수가 완전히 합리화될 수 있게 하는 일반적인 조건을 찾는다. 강의 3에서처럼 드러난 선호(revealed preferences) 개념을 이용할 것이다. x와 y가 모두 B(p,w) 안에 있고, x=x(p,w)일 때 x는 y보다 선호된다고 정의하자. 이때 x가 y보다 더 나은 것으로 드러났다고 한다. x가 y보다 더 나은 것으로 드러나고 동시에 y가 x보다 더 나은 것으로 드러나는 것은 불가능한데 이 때 선호관계 \(\succsim\)는 "드러난 선호의 약한 공리"를 만족시킨다고 했다. 이와 비슷하게 소비자 문제에서의 약한 공리(Weak Axiom; WA)는 다음처럼 쓸 수 있다:
만일 \(x(p,w)\neq x(p',w')\)이고 \(px(p',w')\leq w\)이면, \(p'x(p,w)> w'\)이다.
풀어쓰면, 한 소비자 문제 (p',w')의 최적해가 다른 소비자 문제 (p,w)의 최적해가 아닐 때 (p,w)의 최적해는 B(p',w') 밖에 있다는 말인데... 그래서 뭐? 여튼 이걸로 합리화하기에 충분하지 못하므로 강한 공리가 필요하다고 한다.
드러난 선호의 강한 공리(Strong Axiom of Revealed Preference)
수요함수로부터 유도된 관계 \(\succ\)가 순환하지 않는다(acyclic)고 하는 게 강한 공리다. 관계 \(\succ\)를 완전한 선호관계로 확장할 수 있다는 게 집합론의 잘 알려진 결과라고 한다. 어쨌든 강한 공리도 좀 성가신데, 어떤 수요함수가 합리화되는지 아닌지를 결정하는 건 쉬운 일이 아니라고 한다.
이론모형은 대개 그 함의가 합당한지로 평가된다고 한다. 소비자 문제의 맥락에서 가격이 오르면 상품에 대한 수요가 줄어든다는 직관이 유효한지 물을 수 있다. 그런데 꼭 그러라는 법도 없다. 그러면서 상품의 가격이 오를 때 수요도 커지는 예를 보여준다. 효용함수 u(x1,x2)는 인수의 합 즉 x1+x2이 1보다 작을 때는 x1+x2이며, x1+x2이 1 이상일 때는 x1+4x2라고 하자. w가 1일 때 p2는 2로 고정하면 p1에 따라 상품 1의 수요가 커지는 구간이 나타남을 보일 수 있다.
수요 법칙("The Law of Demand")에 관한 마지막 주장
x가 발라스의 법칙과 WA를 모두 만족한다고 하자. 만일 w'=p'x(p,w)이라면 x(p',w')=x(p,w)이거나 [p'-p][x(p',w')-x(p,w)]<0이다.
분량도 좀 많은 편이었고, 이해가 잘 안되는 내용도 많아서 정리도 중구난방으로 했다. 일단 머리에 넣고 나중에 다시 곰곰히 생각해볼 필요가 있다.
