지금까지는 대안들의 집합에서 어떤 대안을 선택할 것인가, 즉 대안들 사이의 선호관계를 논의했다. 여기서는 서로 다른 집합들 사이의 선호관계로 확장한 개념을 소개할텐데 이를 '간접선호(indirect preferences)'라 부른다. 선호관계 \(\succsim\)로부터 간접선호 \(\succsim^*\)를 다음처럼 유도한다.
$$A\succsim^* B\ {\rm if}\ C_{\succsim}(A)\succsim C_{\succsim}(B)$$
즉 집합 A 내에서 최적인 대안이 최소한 집합 B 내에서 최적인 대안만큼 선호된다면 A를 최소한 B만큼 '간접'선호한다고 부른다. 효용함수 u가 \(\succsim\)를 표현하고 선택함수가 잘 정의된다면, 다음처럼 정의된 간접효용함수 v는 \(\succsim^*\)를 표현한다.
$$v(A)=u(C_\succsim (A))$$
때때로 간접선호관계로부터 선택함수 C를 구성할 수도 있다고 한다. 집합 A에서 원소 하나를 뺐더니 원래 A보다 덜 선호된다면, A에서 하나를 고를 때 그 뺐던 원소를 선택할 거라는 말이다. 예산집합에 관한 간접선호도 비슷하게 정의된다.
$$(p,w)\succsim^* (p',w')\ {\rm if}\ x(p,w)\succsim x(p',w')$$
이에 관한 네 가지 성질을 소개한다.
1. \((\lambda p,\lambda w)\sim^* (p,w)\) 즉 결과가 문제를 제시하는 방법과 무관하다는 말이다(invariance to presentation).
2. \(\succsim^*\)는 pk에 따라 줄어들고 w에 따라 엄격하게(strictly) 커진다.
3. \(\succsim\)가 연속이라면 \(\succsim^*\)도 연속이다.
4. (p,w)가 최소한 (p',w')만큼 간접선호되면 0 이상 1 이하인 λ에 대해 (p,w)는 최소한 (λp+(1-λ)p',λw+(1-λ)w')만큼 간접선호된다. 얼핏 선호의 볼록함에 관한 정의로 보이지만 그 반대다. 그래서 '반볼록함(anti-convexity)'이라고 한다. 왜 선호에서는 볼록함이 중요한데 간접선호에서는 그 반대일까. 나중에 생각해보겠다.
이제 간접선호로부터 소비자 수요함수를 유도한다. px(p*,w*)=w를 만족하는 어떤 B(p,w)도 B(p*,w*)보다 열등할 수 없다는 것에서 시작한다. px(p*,w*)=w를 만족하는 모든 (p,w)는 (p*,w*)를 지나는 간접선호의 무차별 곡선과 접한다(tangent). 그래서 (p*,w*)를 지나는 무차별 곡선을 알면 (p*,w*)에서의 수요도 드러난다고 한다.
주장
수요함수가 발라스의 법칙을 만족한다고 하자. 어떤 (p*,w*)에 대해 다음 집합을 생각하자.
$$H=\{(p,w)|(x(p^*,w^*),-1)(p,w)=0\}$$
초평면 H는 (p*,w*)를 지나는 \(\succsim^*\)에 관한 무차별 곡선에 접한다.
증명을 보자. 위 x는 B(p,w)에 포함되기도 하므로 x(p,w)는 최소한 x(p*,w*)만큼 선호된다. 그러므로 (p,w)는 최소한 (p*,w*)만큼 간접선호된다.
\(\succsim^*\)가 미분가능한 함수 v로 표현되는 경우 로이 등식(Roy's identity)을 유도할 수 있다. 무차별 곡선에 접한 초평면이 px(p*,w*)=w를 만족하는 (p,w)의 집합과 같음을 보이면 되는데, 이때 전자는 v의 기울기(gradient)를 이용해서 나타낼 수 있고, v의 기울기 벡터가 (x(p*,w*),-1)와 비례한다는 사실로부터 다음과 같은 로이 등식이 얻어진다.
$$x_k(p^*,w^*)=-\frac{\partial v/\partial p_k(p^*,w^*)}{\partial v/\partial w(p^*,w^*)}$$
다음으로 이중 소비자(dual consumer)를 소개한다. 표준모형에서 소비자는 선호관계와 초기꾸러미 z를 갖는다. 가격벡터 p를 마주했을 때 소비자는 가격에 따라 상품을 교환함으로써 얻어지는 최적 꾸러미를 선택한다. 즉 \(\{x|px\leq pz\}\)에서 최선의 꾸러미를 찾는 문제가 되며, 이를 주요 문제(prime problem)라고 부르고 P(p,z)로 쓴다. 이 문제의 해가 있으며 유일하다고 가정한 후 이를 x(p,z)로 쓴다. 함수 x는 표준수요함수(standard demand function)다.
또한 이중 문제(dual problem)를 소개하는데 이는 D(p,z)로 나타내며 다음과 같이 정의된다.
$$\min_x\{ px|x\succsim z\}$$
즉 초기꾸러미 z만큼은 좋은 가장 값싼 꾸러미를 찾는 문제다. 역시 해가 있으며 유일하다고 가정한 후 이를 h(p,z)로 쓴다. 이걸 힉스수요함수(Hicksian demand function; Higgs 아님;;)라고 부른다. 또한 e(p,z)=ph(p,z)는 지출함수(expenditure function)다. 지출함수와 소비자의 간접효용함수 사이에 이중성(duality)이 있다고 하는데 무슨 소린지 모르겠다. 여튼 힉스수요함수와 지출함수에 관한 성질을 몇 가지 소개한다.
1. h(p,z)=h(λp,z)이다. px를 최소화하는 문제와 여기 상수를 곱한 문제는 같다는 말이다. 다만 e(λp,z)=λe(p,z)다.
2. 상품 k의 힉스수요는 가격 pk에 따라 줄어든다.
3. 연속이므로 h(p,z)는 z만큼 선호된다.
4. 연속이므로 h(p,z)와 e(p,z) 모두 연속이다.
5. 지출함수는 p에 대해 오목하다.
6. 로이 등식의 이중으로서 초평면 H={(p,e)|e=ph(p*,z)}는 p*에서의 지출함수와 접한다.
이중성을 논의하기 위해 다음과 같은 예를 들어보자.
1. 거북이가 1일 동안 움직이는 최대 거리는 1 km다.
2. 거북이가 1 km를 움직이는 데 드는 최소 시간은 1일이다.
주장
꾸러미 x*가 P(p,x*)의 해면 D(p,x*)의 해이기도 하고 그 역도 성립한다.
다시 말해서, 초기꾸러미가 주요 문제의 해라면, 초기꾸러미에 의한 지출을 초과하지 않는 선에서 초기꾸러미보다 더 선호되는 꾸러미는 없다. 초기꾸러미보다 더 선호되려면 지출이 초과될 수밖에 없으므로, 지출을 최소화하는, 즉 가장 싸게 먹히는 꾸러미는 초기꾸러미이고 이는 곧 이중 문제의 해가 된다.
