1부터 K까지의 자연수 각각은 상품을 나타낸다. \(\mathbb{R}^K\)의 벡터 z에서 양수인 요소는 산출(output)을, 음수인 요소는 투입(input)을 뜻한다. 즉 투입된 상품들로부터 다른 상품을 산출해낸다고 보면 된다. 이러한 z의 집합을 '기술(technology)'이라고 하고 Z로 나타낸다.
1. 0벡터는 Z의 원소다. 즉 아무 일도 하지 않는 상태다.
2. 음수가 아닌 요소들로만 이루어진 z는 없다. 즉 투입 없이 산출 없다는 말이다.
3. 자유로운 처분(free disposal): z가 Z의 원소라면 z보다 작거나 같은 z'도 Z의 원소다. 생산자는 비효율적으로 생산할 수 있다.
4. Z는 닫힌 집합이다.
5. Z는 볼록한 집합니다. 이에 따라, 0벡터도 Z의 원소이므로 z가 Z의 원소이면 1보다 작은 양수 λ에 대해 λz도 Z의 원소가 된다. 이를 규모에 따라 커지지 않는 수익(nonincreasing returns to scale)이라 한다. 또 다른 말로 한계생산성감소(decreasing marginal productivity)라고도 한다. 그런데 이 개념들이 어떻게 연결되는지 잘 이해 안된다;;
K개의 상품 중 1부터 K-1에 해당하는 z의 요소 zk는 0 이하이고, zK만 0 이상이라고 해보자. 즉 K-1개 종류의 상품의 조합으로 상품 K를 생산한다는 말이다. 투입하는 자원으로부터 만들 수 있는 산출의 최대값을 생산함수(production function)로 정의한다.
$$f(v)=\max\{x|(-v,x)\in Z\}$$
여기서 v는 K-1차원 벡터이며 그 원소는 모두 0 이상이다. 반대로 생산함수로부터 기술 Z를 이끌어낼 수 있다.
$$Z(f)=\{(-w,x)|x\leq y\ \textrm{and}\ w\geq v\ \textrm{for some}\ y=f(v)\}$$
생산자의 선호는 다양하게 정의될 수 있다. 가격벡터 p가 주어졌을 때 생산자는 다음과 같은 선택집합을 갖는다.
$$B(p)=\{(z,\pi)|z\in Z\ \textrm{and} \ \pi=pz\}$$
여기서 π는 이익(profit)이다. 이제 K 종류의 상품으로부터 하나의 상품(그 양을 y라고 하자)을 생산하는 경우를 보자. (앞에서는 K-1개였다가 여기서는 K개다. 그런데 중요하지 않다;;) 투입하는 상품들의 양을 벡터 a로 나타낸다. y=f(a)이고 π는 pyy-paa다. p에 대해서는 따로 말하지 않겠다;; 이제 생산자 선호의 다양한 예를 보자.
1. π가 0 이상이라는 조건에서 y를 최대화하기.
2. y의 최소값이 정해진 상태에서 이익을 최대화하기.
3. 비용에 대한 이익의 비율, 즉 π/paa을 최대화하기.
4. \(a_1^*\) 명의 노동자를 고용한 상태에서 한 명 해고할 때마다 드는 비용이 c일 때 \(\pi-c\max\{0,a_1^*-a_1\}\)을 최대화하기. 음;;;
5. 노동자 한 명 당 얻는 이익, 즉 π/a1을 최대화하기.
6. 이익은 무시하고 (a,y)에 대한 선호관계를 최대화하기.
7. 투입의 함수로 주어지는 오염량과 이익 사이의 균형을 맞추는 선호관계를 가진 경우.
8. 비탄력 수요 M이 있다는 걸 알 때, 자신이 y를 생산하면 경쟁자가 M-y만큼 생산하고 이때 자신의 이익에서 경쟁자의 이익을 뺀 값을 최대화하기.
9. 그냥 이익 π를 최대화하기.
이 중 마지막 경우를 따르면, 생산자 문제는 다음처럼 정의된다.
$$\max_{z\in Z}pz$$
이 문제에 해가 유일하려면 Z가 묶여 있어야 하고(bounded), 강하게 볼록해야 한다. 이 유일한 해를 z(p)로 나타내고 공급함수(supply function)라 부른다. 그렇게 최대화된 이익을 이익함수(profit function) π(p)라 한다. 소비자 문제가 가격이 소비에 주는 영향을 다룬다면 생산자 문제는 가격이 산출과 투입의 소비에 주는 영향을 다룬다. 소비자 문제에서 제약(재화)은 선형이고 선호가 볼록한데 반해, 생산자 문제에서 선호(이익)는 선형이고 제약은 볼록한 집합이다.
공급함수는 z(λp)=z(p)를 만족하고, 연속이다. 투입하는 상품의 가격이 오르면 투입량(수요)이 줄어들고, 산출하는 상품의 가격이 오르면 산출량(공급)이 늘어난다.
이익함수는 π(λp)=λπ(p)를 만족하고, 연속이며, 볼록하다. 호텔링의 정리(Hotelling's lemma)를 소개한다: 어떤 가격벡터 p*에 대해서도, 모든 p에 대해 다음을 만족한다.
$$\pi(p)\geq pz(p^*)$$
그래서 초평면 \(\{(p,\pi)|\pi=pz(p^*)\}\)은 \(\{(p,\pi)|\pi=\pi(p)\}\)에 접한다. π가 미분가능하다면, \(d\pi/dp_k(p^*)=z_k(p^*)\)이다. 또한 π가 두 번 미분가능하다면, \(dz_j/dp_k(p^*)=dz_k/dp_j(p^*)\)이다.
생산자가 생산하는 상품량들의 벡터를 y라고 하고 여기 투입되는 상품들의 가격 벡터를 p라고 할 때 비용함수(cost function)는 다음처럼 정의된다.
$$c(p,y)=\min_a\{pa|(-a,y)\in Z\}$$
지금까지 소비자를 모형화할 때는 일반적인 선호를 다루었는데, 이를테면 건강을 해치기 위해 상품을 소비하는 소비자도 논의대상이었다. 하지만 생산자의 경우는 그런 이상한 경우는 생각하지 않는다. 예를 들어 이익보다 경영자의 봉급을 올리도록 운영되는 기업들이 있다. 루빈슈타인은 왜 이런 차이가 나타나는지 궁금했다고 한다. 그는 단순히 수학적으로 편리하기 때문이지 이데올로기적인 음모의 결과는 아니라고 생각한단다. 하지만 이런 가정들이 학생들을 오도할 가능성도 언급한다.
