물질이 공간 위를 움직이는 현상을 간단한 모형, 즉 물질수송모형(mass transport model)으로 연구할 수 있다. 이를테면 1차원 격자의 각 자리에 입자들이 놓여 있고 그중 일부가 이웃한 자리로 움직인다고 하자. 움직이는 입자의 개수는 움직이기 전 그 자리에 있던 입자의 총개수에 의해서만 결정된다고 하자. 이를 영거리 과정(zero range process; ZRP)으로 부르기도 한다. 지금부터는 물질을 셀 수 있는 입자가 아닌 연속적인 양으로 다루겠다. 이 글의 내용은 2006년 <저널 오브 스태티스티컬 피직스>에 실린 에반스 등의 논문을 전적으로 따른다.
격자가 모두 L개의 자리로 이루어졌다고 하고, 각 자리 l에 \(m_l\)만큼의 물질이 놓여 있다고 하자. 물질의 총량은 보존된다고 하면 이 m들의 합은 상수 M으로 쓸 수 있다. 1번 자리에 \(m_1\)만큼의 물질이, 2번 자리에 \(m_2\)만큼의 물질이... L번 자리에 \(m_L\)만큼의 물질이 있을 확률을 \(P(\{m_l\})\)로 쓰자. 이 확률은 각 자리에 m의 질량이 있을 확률들, 즉 f(m)의 곱으로 나타낼 수 있다.
$$P(\{m_l\})=Z_{L,M}^{-1}\prod_{l=1}^L f(m_l),\ Z_{L,M}=\prod_{l=1}^L \int dm_l f(m_l)\delta\left(\sum_{l=1}^L m_l-M\right)$$
다만 가능한 모든 경우에 대해 이 확률들을 더하면 1이 되어야 하므로, 적절한 틀맞춤 상수(normalization constant)가 필요한데 이게 바로 \(Z_{L,M}\)이며 평형통계물리에 비유하여 '분배함수(partition function)'로 부를 수도 있다. 이 글에서는 이 \(Z_{L,M}\)을 구해보려고 한다. 다만 f(m)을 적당한 형태로 가정해야 하는데, 주로 연구되는 경우는 f(m)이 m의 거듭제곱 꼴로 표현되는 경우다.
$$f(m)\simeq Am^{-\gamma}$$
이 f를 저 위의 분배함수에 넣고 풀면 된다. 끝~~이 아니라 이걸 푸는 과정은 결코 단순하지 않다. 일단 라플라스 변환을 한다.
$$\int_0^\infty Z_{L,M}e^{-sM}dM=[g(s)]^L,\ g(s)=\int_0^\infty f(m)e^{-sm}dm$$
그리고나서 역라플라스 변환을 하는데 복소공간 위의 브롬위치(Bromwich) 적분을 이용한다.
$$Z_{L,M}=\int_{s_0-i\infty}^{s_0+i\infty}\frac{ds}{2\pi i}[g(s)]^L e^{sM}ds$$
여기서 \(s_0\)는 적절히 선택한다. 그리고 적분해야 하는 항은 편의상 다음처럼 쓸 수 있다. \([g(s)]^Le^{sM}=e^{Lh(s)}\), 여기서 \(h(s)=\rho s+\ln g(s)\)인데 \(\rho=M/L\)로 쓰기로 하자. ρ는 자리당 물질의 양이므로 '밀도'라고 부를 수 있다. L이 매우 큰 상황이라고 하고 이 식을 안장점 어림 또는 라플라스 방법(라플라스 변환과는 다르다)으로 풀 것이다. \(s_0\)을 \(h'(s_0)=0\)을 만족시키는 값이라고 하면 그 결과로 아래 오른쪽 식이 나오고, 분배함수는 다음과 같이 얻어진다.$$Z_{L,M}\approx\frac{\exp[Lh(s_0)]}{\sqrt{2\pi L |h''(s_0)|}},\ \rho=-\frac{g'(s_0)}{g(s_0)}$$
물론 여기 전제는 \(h'(s_0)=0\)을 만족시키는 양수 \(s_0\)가 있어야 한다는 것. 이 조건은 γ의 값에 따라 달라진다. s가 작다고 가정하면 위의 g(s) 식에서 지수함수 부분을 다음처럼 전개하여 쓸 수 있다.$$g(s)=\int_0^\infty f(m)\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{s^k}{k!}m^k dm\approx \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \frac{s^k}{k!}\mu_k+bs^{\gamma-1}$$
\(\mu_k=\langle m^k\rangle\)으로서 m의 k차 모멘트다. n은 γ의 정수 부분이며 상수 b가 곱해진 마지막 항은 γ가 정수가 아닐 때 나오는 특이항(singular term)이다. γ가 정수일 때는 로그보정이 붙는다. 첫번째 항의 첫항은 \(\mu_0=1\)인데 이건 f(m)이 틀맞추어져 있다(normalized)는 조건에 의해 얻어진다. 이제 이 식을 이용해 h(s)를 구한다.$$h(s)=\rho s+\ln g(s)\approx\rho s+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k \frac{s^k}{k!}\mu_k+bs^{\gamma-1}$$
미루고 미뤘는데도 오늘은 여기까지... 시작도 못했다;;;
