폭발성이 다양한 정보전달 및 전염병 확산에 어떤 영향을 미치는지를 이해하는 출발점으로서 기다림 시간 역설을 풀어보겠다.
일정한 시간 간격으로 오는 버스를 버스 정류장에서 기다린다고 해보자. 평균적으로 얼마나 오래 기다려야 할까? 다시 말해서 평균 기다림 시간은 얼마일까? 버스가 오는 순간에 딱 맞춰서 정류장에 도착했다면 기다림 시간은 0이고, 버스가 출발하자마자 정류장에 도착했다면 버스가 오는 주기만큼 기다려야 할 것이다. 내가 버스 정류장에 도착하는 순간이 랜덤하다고 가정하면 평균 기다림 시간은 버스 주기의 절반이 된다.
하지만 버스가 일정한 주기로 정확히 도착하는 것은 대부분의 나라에서 일어나기 힘든 일이다. 늦을 때도 있고 이를 때도 있다. 그래서 한 번 버스가 오고 다음 번 올 때까지의 시간(버스 사이 시간, t로 나타내자)이 정해져 있지 않고 어떤 분포로 나타난다고 하자. 이를 P(t)로 쓰겠다. 기다림 시간은 w라고 하자. w 역시 정해져 있지 않고 어떤 분포로 나타나는데 이를 P(w)라고 하자.
w만큼 기다리려면 버스 사이 시간 t가 적어도 w보다는 커야 한다. 그래서 t가 w보다 클 확률의 총합에 비례하여 w의 확률이 정해진다.
$$P(w)=\frac{1}{\langle t\rangle}\int_w^\infty P(t)dt$$적분 앞의 계수는 그냥 정해진 게 아니라 P(w)를 모든 w에 대해 적분하면 1이 된다는 조건으로부터 얻어진다. <t>
여기서 Δ^2은 버스 사이 시간 분포의 분산이다. 버스가 매번 정확한 시각에 도착하면 이 분산은 0이 되어 위에서 말한대로 평균 기다림 시간은 버스 주기의 절반이 된다. 하지만 버스가 제때 도착하지 않기만 해도 이 분산이 0보다 커져서 평균 기다림 시간은 그만큼 늘어나게 된다.
버스가 늦을 때 버스의 평균 시간 간격을 감안하더라도 항상 더 오래 기다리는 느낌을 받는데 그게 틀린 게 아니라는 말이다.
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그냥 넘어가기가 아쉬워서;;; 첫번째 적분식의 계수를 유도해보겠다.
$$P(w)=c\int_w^\infty P(t)dt$$P(w)도 확률분포이므로 그 합 또는 적분은 1이 되어야 한다. 이러한 틀맞춤(normalization) 조건으로부터 c를 구해보자.
$$1=\int_0^\infty P(w)dw=c\int_0^\infty\int_w^\infty P(t)dtdw$$$$=c\int_0^\infty\int_0^\infty P(t)\Theta(t-w)dtdw$$
여기서 t의 적분구간을 0부터 무한대로 바꾸되 헤비사이드 계단함수 Θ를 도입하는 게 중요하다. 이 계단함수는 인수(즉 t-w)가 양수일 때는 1의 값을 갖고, 음수일 때는 0을 갖는다. 그리고나서 t와 w의 적분 순서를 바꾸면 아래처럼 쓸 수 있다.
$$=c\int_0^\infty P(t)\left[\int_0^\infty \Theta(t-w)dw\right]dt$$$$=c\int_0^\infty P(t)\left[\int_0^t dw\right]dt$$
$$=c\int_0^\infty P(t) t dt=c\langle t\rangle$$
이로부터 c가 평균 버스 사이 시간의 역수임을 알 수 있다. 증명 끝. 같은 수법을 이용하여 평균 기다림 시간의 적분도 풀 수 있다. 관심 있는 분들은 한 번 해보시길.
