맥락적 폭발성이라는 글의 주요 결과를 이해하려면 확률변수들의 관계에 대한 이해가 필요한데, 그중에서도 '강한 무질서(strong disorder) 효과'에 대해 써보겠다. 어떤 확률변수 X가 n개의 확률변수 x들의 합으로 씌어진다고 하자.
확률변수란, 변수는 변수인데 그게 가질 수 있는 값이 어떤 분포로 주어지는 변수를 말한다. 여기서는 n개의 x가 모두 같은 분포, 즉 P(x)로 정의되는 확률변수라고 가정한다. 또한 P(x)는 거듭제곱 분포라고 가정한다. 강한 무질서 효과란 X가 여러 x들의 합이라고 해도 P(x)의 꼬리가 두꺼워지면 그중에서도 가장 큰 x가 X를 좌지우지한다는 말이다.
$$X=\sum_{i=1}^n x_i=\sum_{r=1}^n x_r,\ P(x)\simeq Ax^{-\alpha}$$
여기서 i는 1번부터 n번까지 x들에 붙인 번호인데 각 x들은 서로 독립적이라 이 번호는 별 의미가 없다. 대신 그렇게 얻어진 x들을 큰 순서대로 나열하여 그 순위를 r이라고 하면 위 왼쪽 식의 맨 오른쪽처럼 쓸 수 있다. 자세히 쓰려니까 말이 길어짐;;; 걍 팍팍 나가겠음. 아래 식은 거듭제곱 분포뿐 아니라 일반적으로 성립하며 특히 거듭제곱 분포를 다룰 때 잘 알려진 수법이다.
$$\frac{r}{n}=\int_{x_r}^\infty P(x)dx$$
r=1인 경우부터 보자. P(x)로부터 n개의 값을 뽑았는데 그중 가장 큰 놈(r=1)이 x_1이 되려면 x_1부터 무한대까지 얻을 확률의 합(또는 적분)이 1/n보다 클 수 없다는 조건으로 이해할 수 있다. 위의 거듭제곱 분포를 넣어서 풀면 아래와 같다. B는 상수인데 A를 포함한다.
$$x_1\simeq B n^{1/(\alpha-1)}$$
두번째 큰 놈에 대해서도, 일반적으로 r번째 큰 놈에 대해서도 마찬가지다.
$$x_r\simeq B n^{1/(\alpha-1)} r^{-1/(\alpha-1)}$$
이 결과를 맨 위의 합에 넣어주자. 이걸 그냥 합으로 구하기 힘들므로 적분으로 어림하여 푼다.
$$X=\sum_{r=1}^n x_r\simeq B n^{1/(\alpha-1)}\sum_{r=1}^n r^{-1/(\alpha-1)}$$
$$\propto Bn^{1/(\alpha-1)}\frac{n^{1-1/(\alpha-1)}-1}{\alpha-2}$$
$$=B\frac{n-n^{1/(\alpha-1)}}{\alpha-2}$$
필요한 것만 정리하면 위의 식처럼 된다. α가 2보다 크면 n이 매우 클 때 위 마지막 식에서 첫번째 항이 우세해진다. 즉 X는 n에 비례한다. 반대로 α가 2보다 작으면 n이 매우 클 때 두번째 항이 우세해진다. 이 경우를 '강한 무질서'라 부른다. α가 작다는 건 P(x)의 꼬리가 두껍다는 말이고 x가 가질 수 있는 값의 범위가 그만큼 커진다는 말이다. 정리하면 아래와 같다.
$$X\propto B n^{1/(\alpha-1)}\simeq x_1$$
강한 무질서일 때 X는 n에 따라 위와 같이 커지는데 재밌게도 이 결과는 x_1이 n에 의존하는 거랑 같은 모양이다. 계수가 잘 맞아 떨어지지는 않지만, 대충;;; X는 x_1이랑 거의 비슷함을 알 수 있다. 물론 X는 x들의 합이므로 x_1이 X보다 클 수 없다.
이제 간단한 예를 들어볼까. 거듭제곱 분포로 알려진 재산 분포가 떠오른다. 만일 어떤 사회의 재산 분포의 거듭제곱 지수가 2보다 작다면, 가장 부자인 사람의 재산이 사회 전체의 재산을 좌지우지한다는 결론이 된다. 가난한 사람이 아무리 많아도 심지어 중산층이 아무리 많아도 다 소용 없다는 결론;;; 끝.
