파레토 원리 또는 법칙은 "이탈리아 토지의 80%를 인구의 20%가 소유하고 있다"라는 걸 발견한 파레토의 이름을 딴 것이라고 한다. 그래서 이는 80대 20 법칙으로 불리기도 한다. 여기서 한 걸음 더 나아가면 인구의 '상위' 20%가 소유한 80%의 토지 안에서만 봐도 파레토 원리가 성립한다고 추측할 수 있다. 전체 인구의 20% 중 20% 즉 '상위' 4%가 전체 토지의 80% 중 80% 즉 64%나 소유하고 있다는 말이다. 그럼 그 4%의 인구가 소유한 64%의 토지 안에서도 다시 파레토 원리가 성립한다고 하자. 이는 그 '상위' 인구가 1명이 될 때까지 되풀이 될 수 있다.
그렇다. 딱 봐도 거듭제곱 분포가 나타남을 알 수 있다. 그렇다면 그 분포의 거듭제곱 지수는 얼마일까? 간단한 계산 문제다. 위에서 20% 즉 0.2라는 값을 u라는 변수로 나타내자. 그리고 토지의 넓이를 x라고 하겠다. x만큼의 토지를 소유한 사람의 비율을 P(x)라고 하자. 즉 P(x)를 모든 x에 대해 적분하면 1이 되어야 한다.
첫번째 식은 상위 u를 결정하는 토지의 넓이 x가 s임을 뜻한다. 두번째 식은 s 이상의 토지를 보유한 사람들이 전체 토지의 1-u만큼을 소유한다는 조건이다. 이제 P(x)가 거듭제곱 분포라고 가정한다. 그런데 P(x)가 잘 정의되려면 x의 최소값(x_0)을 0보다 크게 만들어줘야 한다. 그래서 다음처럼 헤비사이드 계산단함수 θ를 붙여준다.
상수 A는 P(x)를 0부터 무한대까지 적분할 때 1이 되도록 정해준다. 그리고나서 이 P(x)를 위의 식들에 넣어서 풀어주면... (풀이 과정은 쓰기 귀찮으므로 패쓰;;;)
이 얻어진다. u에 0.2를 대입하면 α는 약 2.16이 나온다. 끝.
