바이쯔만의 암울정리(Dismal Theorem)

지난 글에서 잠깐 말한 바이쯔만의 암울정리(dismal theorem; DT)를 <경제학및통계학평론>에 2009년에 실린 논문을 바탕으로 소개하겠다. 소비 C에 따른 효용함수는 다음처럼 주어진다.

$$U(C)=\frac{C^{1-\eta}}{1-\eta}$$

현재 소비는 1로 놓는다. 현재와 미래라는 두 기간만 고려할 때, 이 두 기간 사이의 '로그'소비증가는 다음 확률변수로 표현된다.

$$Y=\ln C$$

이 변수는 ln C의 미래가치에 영향을 주는 모든 불확실성을 나타낸다고 한다. 이제 "확률적 할인율" 또는 "가격 커널"을 다음처럼 쓴다.

$$M(C)=\beta\frac{U'(C)}{U'(1)}=\beta\exp(-\eta Y)$$

여기서 시간선호변수 β는 0보다 크고 1 이하인 상수다. 미래 기간에 한 단위를 더 소비하기 위해 현재 기간에 기꺼이 포기할 수 있는 현재의 소비량은 M(C)의 기대값으로 주어진다고 한다. 확률변수 Y의 확률밀도함수(PDF)를 f(y)라고 하면,

$$E[M]=\beta\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\eta y}f(y)dy$$

편의상 평균은 0이고 분산은 1인 '임의의' PDF φ(z)와 확률변수 Z를 생각하자. Y=sZ+μ라고 하면, y의 조건 PDF는 다음처럼 쓸 수 있다.

$$h(y|s)=\frac{1}{s}\phi\left(\frac{y-\mu}{s}\right)$$

즉 Y의 평균은 μ이고 분산은 s^2이다. 이제 y에 관한 n개의 측정값(앞으로 벡터 y로 표시)이 있다고 할 때 이로부터 베이지안 통계를 이용하여 f(y)를 구할 것이다. 가능도(likelihood) 함수는 다음과 같다.

$$L(s; \vec y)\propto \prod_{j=1}^n h(y_j|s)$$

여기서 s의 PDF는 거듭제곱 분포라고 가정한다.

$$p_0(s)\propto s^{-k}$$

왜냐하면 거듭제곱 분포의 규모불변 성질에 의해 변수 s에 대해 특정한 값을 선호하지 않게 할 수 있고, 이는 "어떤 정보도 주지 않는(noninformative)" 기준으로서 바람직하게 여겨지기 때문이란다. 즉 미리 s에 특정한 규모를 정해주지 않음으로써 일종의 '편향'을 미리 피하려고 하는 것 같다. 사후 PDF는 다음처럼 얻어진다.

$$p_n(s|\vec y)\propto p_0(s)\prod_{j=1}^n h(y_j|s)$$

이로부터 y의 사후-예측(posterior-predictive) PDF를 구할 수 있다.

$$f(y)=\int_0^\infty h(y|s)p_n(s|\vec y)ds$$

전형적인 예로서, Z가 정규분포라고 하자. 그리고 측정값들의 샘플 분산을 다음처럼 정의한다.

$$v_n\equiv \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (y_j-\mu)^2$$

적분하면,

$$f(y)\propto\left(1+\frac{(y-\mu)^2}{nv_n}\right)^{-(n+k)/2}$$

즉 꼬리 부분이 거듭제곱 분포가 된다. 이 결과를 위의 E[M]에 넣으면 n이 무한히 크지 않은 이상 E[M]은 무한대로 발산한다. 이게 암울정리에 관한 대략적인 논리적 흐름이다.

계산만 보자면 Y 자체로는 정규분포인데 이 분포의 표준편차 s가 거듭제곱 분포를 따른다고 함으로써 통계적 할인율의 기대값 즉 E[M]이 발산하는 결과가 나왔다. E[M]이 발산하려면 f(y)가 지수함수보다 느리게 변해야 하는데 이를 위해 s가 거듭제곱 분포라는 게 중요한 역할을 한다.

이 정리가 말하는 바는 대략 이렇지 않을까 한다. 미래에 뭔가를 소비하기 위해 현재의 모든 걸 포기해야만 하는 상황이라면, 거꾸로 현재 모든 걸 포기할 수 없으므로 미래에 뭔가를 소비할 수도 없다는 말 아닐까.