암울정리를 간단히 정리한;;; 지난 글에서 가장 기본적인 개념조차 제대로 이해를 하지 못하고 있었다. 확률적 할인요인(stochastic discount factor; SDF)이 그것인데, 이것저것 찾아보니 할인요인과 할인율도 구분하더라. 여튼 할 배리언의 <미시경제학 분석>에 나온 시점 간(intertemporal) 선호에 관한 내용을 중심으로 이해해보려고 한다.
두 시점만 고려하는 간단한 모형을 생각한다. 두 시점은 현재와 미래다. 현재 w만큼의 돈이 있다고 해보자. 이중 c_1을 소비하고 남는 돈을 수익률(return)이 R인 위험자산에 투자한다. 여기서 R은 불확실하므로 확률변수로 놓는다. 미래가 되면 투자한 돈을 회수하여 모두 소비하는데 그 양 c_2는 아래와 같다.
확률변수는 기호 위에 물결 표시를 붙였다. 현재에 c_1을 소비하고 미래에 c_2를 소비할 때 총 기대효용은 다음처럼 얻어진다.
여기서 β는 할인요인(discount factor)이며 1보다 작은데 미래보다 현재를 더 선호하기 때문이다. 이 총 기대효용을 최대화하는 조건을 찾기 위해 U를 c_1으로 미분한 후 0으로 놓는다.
양변을 좌변으로 나눠주면,
이렇게 확률적 할인요인(SDF) M이 정의된다. 이게 지난 글의 M(C)에 해당한다. 여튼 이 조건에 맞는 c_1이 얻어질텐데, 미래가 불확실할 때 현재 가지고 있는 돈을 어떻게 분배하여 쓸 것인가에 대한 최적해로 이해할 수 있다. 또한 할인요인 β는 1보다 작지만 확률적 할인요인 M은 1보다 작을 수도 클 수도 있는 것 같다.
이제 지난 글에서 암울정리가 말하고자 하는 바가 좀더 분명해진다. 불확실성이 매우 클 때 M(C)의 기대값이 발산한다는 말은 수익률이 0으로 수렴하는 상황에 해당하므로 가진 돈을 현재에 다 써버리는 게 총 기대효용을 최대화한다는 걸 뜻한다.
* 필요한 자료를 알려주시고 내용을 이해하는데 도움을 주신 고율님께 감사드림.
