올레 페터스의 PRL 논문을 읽고 정리하다가 보니 정리가 안된다;;; 그래서 일단 하려고 했던 얘기를 먼저 풀어보겠다. 우선 에르고딕 성질의 시간평균에 관해서다. 시간평균이라고 할 때 그 시간은 충분히 길어야 한다. 이 '충분히 긴 시간'이 만족되지 않는 상황에서 에르고딕 성질을 논의하는 건 문제가 있다. 애초에 에르고딕 성질을 논의하기 위한 전제가 만족되지 않은 것이다. 물론 그래서 '약한 에르고딕 성질'을 만들어서 쓸 수도 있다.
다음으로 곱하기 과정(multiplicative process)에 관해 얘기해보자. 아무래도 페터스가 풀고자 하는 수식을 써야겠다. 편의상 또는 일반성을 잃지 않고, 이동(drift)은 0으로 놓겠다.
여기서 η는 평균이 0이고 분산이 1인 하얀 노이즈다. 이 식을 다시 써보자.
x에 관해서는 곱하기 과정이지만 ln x에 관해서는 더하기 과정 또는 브라운 운동 또는 마구걷개 문제다. 마구걷개의 경우 에르고딕 성질은 간단히 말해서 큰 수의 법칙 또는 그것의 일반화된 형태라고 할 수 있다. 즉 η의 확률분포가 주어져 있고, 이 분포로부터 값들을 뽑아내서 평균(시간평균에 해당)을 내면 확률분포로 평균낸 값(앙상블평균)과 같다는 말이다.
일반적으로 곱하기 과정이 에르고딕하지 않을지 어떨지는 모르겠지만, 적어도 위의 예에서는 에르고딕하다고 할 수 있다. 그런데 문제가 이렇게 간단하지는 않다. 우선 통계물리에서도 하나의 시스템에서 측정량을 뭘로 보느냐에 따라 에르고딕할 수도 있고 아닐 수도 있음을 염두에 두자. 페터스의 논문과 관련된 논의에서 문제를 복잡하게 만드는 건 바로 어떤 측정량을 쓸 것인가인 것 같다. 그래서 x를 쓸 것인가, ln x를 쓸 것인가, 아니면 그냥 η만 생각하면 충분한가?
어쨌든 페터스의 논문을 따라가보자. 확률과정에 관한 이토 해석(Ito sense)을 따라 위 식을 풀면 다음과 같다.
초기조건은 x(0)=1로 놓았고, W(t)는 η를 0부터 t까지 적분한 것이다. η가 확률변수이므로 W도 확률변수다. 어떤 시각 t에서 W(t)의 확률분포는 평균이 0이고 분산이 t인 정규분포다. 이 분포를 이용해 x(t)의 앙상블평균을 구한다.
위 오른쪽 식에서 좌변을 t로 나눠준 건 아래 나올 다른 식과 비교하기 위해서다. 이거랑 대조해보기 위해 ln x(t)의 앙상블평균도 구해본다. (페터스 논문에서는 다루지 않음.)
이 값은 x(t)의 앙상블평균의 로그보다 작은데, 로그 함수가 위로 볼록하므로 젠센부등식에 의해 당연한 결과다. 지금까지는 앙상블평균만 구했고, 이제 시간평균을 구해보자.
시간평균이라면 뭔가 위 식 비슷한 걸 풀어야 할 것 같은데 페터스는 다음처럼 다른 양을 정의한다.
페터스는 이 양을 '시간평균 증가율'이라고 부른다. 이 '시간평균 증가율'이 위의 앙상블평균에 로그를 씌우고 t로 나눠준 양(=0)과 다르므로 에르고딕하지 않다는 주장을 한다. 하지만 '시간평균 증가율'은 내가 위에 쓴 일반적인 시간평균의 정의와 다르다. 그리고 x(t)의 W(t)가 t가 매우 클 때 t에 선형인 항보다 무시할 정도로 작아질 거라는 사실을 이용하려는 목적이었다면 차라리 ln x(t)의 앙상블 평균이 그 의도에 맞는 것 같다.
아직 모호한 부분이 많지만 정리해보자면, 마구걷개 자체로는 에르고딕하다. 다만 이 마구걷개를 x로 기술할지 ln x로 기술할지에 따라 결론이 달라질 수 있고, 무엇보다 페터스가 정의한 '시간평균 증가율'처럼 정체를 알 수 없는 양을 정의하면 뭐가 뭔지 더 복잡해진다. 오늘은 여기까지;;;;
