* 생각을 정리하는 거라서, 자세한 설명은 생략합니다;;;
영어로 쓰면, Abelian sandpile model (ASM), Potts model, spanning tree다. 우선 폿츠 모형은 1부터 q까지의 자연수 중 하나의 값을 갖는 스핀들이 상호작용하는 시스템이다. 폿츠 모형의 분배함수 Z를 구하면 상수가 없는 q의 다항식이 된다. q를 0으로 보내는 극한을 취하면 q의 1차항만 남고 나머지는 모두 무시할 수 있다. 앞에서는 q를 자연수라고 해놓고 뒤에서는 q가 0에 가까워지는 극한을 취하는데 상식의 저항을 느껴도 어쩔 수 없다.
폿츠 스핀들의 상호작용 구조는 일반적인 그래프 G로 나타낼 수 있다. G는 점들의 집합 V와 이 점들을 잇는 선들의 집합 E로 정의된다. E의 부분집합 E'에 대해 클러스터의 개수 c(E')를 구할 수 있는데 앞에서 q의 1차항은 c(E')=1인 경우에 해당한다. 즉 모든 자리(site; node; vertex)를 하나도 빠짐 없이 이어서 하나의 클러스터를 형성한 경우다. 어떤 그래프의 걸침나무(spanning tree)는 그 그래프의 모든 점들을 하나도 빠짐 없이 이어주는 나무를 뜻하는데, q를 0으로 보내는 극한은 이러한 걸침나무만이 중요해진다는 것을 의미한다.
ASM은 그래프 G 위에서 정의되고 각 자리 i에 모래알이 z_i개 있는 배열(configuration)을 생각할 수 있다. 모래쌓기 규칙에 따라 배열이 계속 바뀌는데 다시 돌아오는 배열을 되돌이 배열(recurrent config.: 내 맘대로 번역;;)이라고 한다. 여기서는 수채자리(sink site)를 하나 추가하고 무너질 때 사라지는 모래알의 개수만큼 그 자리에서 수채자리로 링크를 연결하여 N+1개의 자리로 이루어진 그래프 G'을 만든다.
어떤 배열 C가 되돌이인지 아닌지를 판별하는 방법 중 '태우기 시험(burning test)'이 있다. 이 시험에서 모든 자리가 정확히 한 번씩 타버리면 그 배열은 되돌이 배열이다. 수채자리를 태우기 시작하여 연쇄반응을 일으켜 모든 자리가 타야 하는데 이 연쇄반응을 나무(tree)로 나타낼 수 있다. 그런데 모든 자리가 연결되어 있으므로 이 나무는 걸침나무가 된다. 한 자리가 타는데 둘 이상의 타버린 이웃이 동시에 영향을 끼치는 경우도 있다. 이때는 경우를 잘 나누면 되는데, 결과적으로 하나의 되돌이 배열 C에 대해 단 하나의 걸침나무를 결정할 수 있다. (일대일대응)
그래프 G'의 걸침나무의 모든 경우의 수는 G'의 라플라스 행렬(Laplace matrix; 이를 M이라고 하자)에서 임의의 행과 열을 하나씩 지운 행렬의 행렬식(determinant)으로 구해진다. (그래프 이론에서 알려진 결과다.) 그런데 수채자리를 포함시킨 ASM의 무너지기 행렬(toppling matrix)이 M과 동일하며, 수채자리에 해당하는 행과 열을 지우면 결국 처음 ASM의 무너지기 행렬이 된다. 그래서 ASM의 되돌이 배열 C의 총 개수는 결국 이 모형에서 주어진 무너지기 행렬의 행렬식과 같다는 결론에 도달한다.
이를 통해 ASM과 q를 0으로 보내는 폿츠 모형과 걸침나무 사이의 삼각관계가 완성되었다.
+ 참고문헌
[1] D. Dhar, Theoretical studies of self-organized criticality, Physica A 369, 29 (2006)
