가우스 적분은 exp(-x^2)을 x에 대해 구간 (-∞, ∞)에서 적분하면 sqrt(π)가 나온다는 공식을 가리킨다. 다시 쓰면,
int_{x=-∞, ∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π)
이다. 그런데 exp(-a^2 x^2)을 적분하면 sqrt(π) / a가 되는데 늘 a가 분모에 들어가는지 분자에 들어가는지 루트 안에 들어가는지 밖에 나오는지 헷갈렸다. 방금 전에 더이상 헷갈리지 않는 방법을 알아냈다;;;
int_{x=-∞, ∞} exp(-a^2 x^2) dx = ?
지수함수의 인수는 차원이 없다는 성질을 이용하여 차원 분석을 하면 x는 1 / a의 차원이라는 것을 알 수 있다. 그런데 위 식의 좌변의 차원은 dx에 의해 x이므로 우변의 차원도 x여야 하고 즉 1 / a이어야 한다. 그러므로 sqrt(π) / a라고 쓰면 된다. 어떤 변수의 차원을 [ ]를 씌워 나타내어 정리하면 [x] = [dx] = [1 / a]이다.
연습을 간단히 해보자.
int_{x=-∞, ∞} exp(-a x^2) dx = sqrt(π / a)
int_{x=-∞, ∞} exp(-x^2 / a^2) dx = sqrt(π) a
int_{x=-∞, ∞} exp(-x^2 / a) dx = sqrt(π a)
이제 헷갈리는 일은 없을 것이다. 왜 이걸 이제서야 알았을까.
