참 제목도 어지간하다(?). 예전에 방향성 있는 아벨리안 모래쌓기 모형을 2차원에 대해 푼 글을 쓴 적이 있는데 오늘은 일반적인 d차원에 대한 풀이를 쓰려고 한다. 역시 D. Dhar의 Physica A 369, 29 (2006) 참고.
위 글의 2차원 풀이를 보면 모래쌓기 모형을 마구잡이 걷기 문제로 환원하여 비교적 쉽게 답을 얻을 수 있었지만 더 높은 차원에서는 그게 안되므로 다른 방식으로 접근해야 한다. 3차원 이상은 또 그림을 그리기 힘들어지므로 일단 2차원을 보자. 우선 맨 위 층의 아무나 한 자리에 모래알을 한 알 떨어뜨리자. 모래알이 떨어진 자리 i에 모래알이 하나 있을 확률과 없을 확률은 각각 1/2이다.
i에 모래가 하나 있었다면 떨어진 모래알에 의해 무너지고(toppling) 그때 2개의 모래알이 아래 층으로 굴러내릴 것이다. i에 모래가 없었다면 무너지는 일이 없고 0개의 모래알이 움직일 것이다. 평균적으로 1개의 모래알이 아래 층으로 움직인다. 점점 더 아래층으로 가면서 이걸 반복하면 각 층에서는 평균적으로 1개의 모래알을 위 층에서 받아 아래 층으로 보낸다는 것을 알 수 있다. 이걸 간단히 유량(flux; 다발)이라고 하고 F(t)로 쓰자. 여기서 t는 몇 층에 있느냐를 나타낸다. 그럼 t에 상관없이 F(t) = 1이 된다.
다음으로 한 가지 가정을 한다. 사태의 지속시간(duration) T가 t보다 클 확률 Pr(T > t)가 t^(-α)에 비례한다고 하자. 시각 t에서의 유량은 그때까지 사태가 지속될 확률에 시각 t에서 무너지기가 일어나는 회수 즉 s(t)의 곱이 된다: s(t) * t^(-α) ~ F(t) = 1 즉 s(t) ~ t^α 이다. 사태의 크기 s는 시간축으로 지속시간 t에 비례하고 공간축으로 t^α에 비례하므로 s ~ t^(α + 1)가 된다. 즉 사태의 크기 S가 s보다 클 확률은 Pr(S > s) ~ Pr(T > t) ~ t^(-α) ~ s^[-α / (α + 1)]이다. 그러므로 Pr(S = s) ~ s^[-(2α +1) / (α + 1)]이고 사태 크기의 거듭제곱 지수(power law exponent)는 τ = (2α + 1) / (α + 1)가 된다.
이제 α만 구하면 된다. 다음과 같은 식을 생각하자.
<F(t)^2> ~ s(t)^2 Pr(T > t) ~ t^α
시각 t에의 유량의 제곱에 대한 앙상블 평균으로 볼 수 있는데 그걸 좀 다르게 풀어쓴 게 두번째고 거기에 t에 관한 결과들을 넣어 정리하면 마지막이 된다. 두번째 식은 박모 박사님이 예전에 이 주제에 대해 발표하셨다고 하는 발표자료에 따른 것이다. 그런데 <F(t)^2>를 다시 쓰면 세점 상관함수(3-point correlation function)로 전개된다. 즉 G_3(t,x,y|0,0)이며, 이건 시각 0에서 0이라는 자리에 모래알을 하나 떨어뜨렸을 때 시각 t에서 x라는 자리와 y라는 자리에서 동시에 무너지기가 일어날 확률로 정의된다.
<F(t)^2> ~ Σ_{x,y} G_3(t,x,y|0,0) ~ t^α 식(1)
세점 상관함수는 두점 상관함수(2-point correlation function)들로 나타낼 수 있다.
G_3(t,x,y|0,0) = Σ_{0≤t'≤t} Σ_{z} f(t',z) G_2(t,x|t',z) G_2(t,y|t',z) 식(2)
f(t',z)를 얻기 위해서는 경계조건이 하나 더 필요한데 일단 생략하자. 위 식은 (시각,위치) = (0,0)에 모래알을 하나 떨어뜨렸을 때 이로 인해 (t',z)에서 무너지기가 발생하고 이 무너지기에 의해 (t,x)와 (t,y)에서 무너지기가 일어날 확률로 이해할 수 있다. G_2의 정의는 이 설명에서 자연스럽게 나온다. 사실 위의 유량은 두점 상관함수와 다음의 관계를 갖는다.
F(t) ~ Σ_{x} G_2(t,x|0,0) ~ 상수 식(3)
그러므로 식(2)를 식(1)에 넣고 모든 x,y에 대해 더해주면 식(3)의 성질에 의해 다음과 같이 단순해진다.
<F(t)^2> ~ Σ_{0≤t'≤t} Σ_{z} f(t',z)
앞에서 생략했던 경계조건을 안쓰고 넘어가려 했는데 써야겠다. 식(2)에서 x = y인 경우, 좌변의 G_3는 그냥 G_2로 바뀐다.
G_2(t,x|0,0) = Σ_{0≤t'≤t} Σ_{z} f(t',z) G_2(t,x|t',z)^2
이걸 식(3)에 넣으면,
상수 ~ Σ_{0≤t'≤t} Σ_{z} f(t',z) Σ_{x} G_2(t,x|t',z)^2
여기서 g(t') = Σ_{z} f(t',z), K(t - t') = Σ_{x} G_2(t,x|t',z)^2 로 정의하면 위 식이 간단해진다. 일단 K(t)는 G_2가 확산 방정식의 해라는 성질을 이용하면 t^[-(d - 1) / 2]가 된다.
상수 ~ Σ_{0≤t'≤t} g(t') t^[-(d - 1) / 2] 식(4)
또한 식(1)을 다시 쓰면,
t^α ~ Σ_{0≤t'≤t} g(t') 식(5)
이다. 요 위 두 식으로부터 α가 d에 의존한다는 것을 알 수 있다. 식(4)에서 좌변은 상수이므로 우변도 t에 무관하게 상수여야 한다. 우변이 발산하지 않는 조건을 찾기 위해 (d - 1) / 2가 1을 기준(즉 d가 3을 기준)으로 클 때와 작을 때를 나눠보아야 한다.
d > 3인 경우, 식(4)가 발산하지 않으려면 g(t)는 상수 정도면 된다. g(t)를 상수라고 하고 이를 식(5)에 넣으면 상수를 0부터 t까지 적분했으므로 α = 1임을 알 수 있다.
d < 3인 경우, 식(4)가 발산하지 않으려면 g(t) 역시 그에 맞는 모양이어야 한다. d = 2인 경우 g(t) ~ t^(-1/2)이고 이를 식(5)에 넣으면 α = 1/2임을 알 수 있다. 즉 τ = (2α + 1) / (α + 1) = 4/3이며 이 결과는 2차원에서 마구잡이 걷기로 환원해서 푼 결과와 일치한다.
마지막으로 d = 3인 경우, g(t) ~ 1 / log(t)이고 이를 식(5)에 넣으면 α = 1이지만 여기에 로그 함수의 보정항이 더해져야 한다는 것을 알 수 있다.
이 결과들을 종합하면 d가 3보다 크거나 같아지면 차원에 상관없이 τ = 3/2이고 이는 평균장 어림(mean-field approximation) 결과다. d가 2인 경우는 τ = 4/3이다. 그러므로 방향성 있는 아벨리안 모래쌓기 모형의 윗고비차원(upper critical dimension)은 3임을 알 수 있다.
배고프고 졸리고 피곤하다. 내일도 일찍 일어나야 하는데 맛있는 술 한 잔 마시고 싶은데 가능할지 모르겠다. 냐옹.
