양자역학의 코펜하겐 해석은 파동함수에 모든 정보가 담겨져 있으며 '측정'이라는 행위를 통해 관찰자가 시스템의 정보를 얻어낼 수 있다고 한다. 측정이라는 행위는 수학적으로 파동함수에 가해지는 연산자로 표현되며 연산 결과 나온 값이 측정값이 된다.
위의 내용을 (평형)통계역학에 적용시켜보자. 시스템의 해밀토니안이 주어져 있다면 이 시스템의 모든 정보는 분배함수에 담겨져 있다고 할 수 있다. 외부 자기장 h에 반응하는 시스템의 경우 해밀토니안 H에는 h * m이 포함된다. 여기서 m은 자기화(magnetization)다.
일반적으로 H = a * b라고 하자. 분배함수는 Z = ∫exp H 로 정의된다. (원래 H 앞에 온도의 역수에 관한 항이 곱해져야 하는데 일단 뺐다. 위의 적분은 이 시스템이 가질 수 있는 모든 상태에 대한 적분이다.) 외부의 b에 대한 a의 반응을 알고 싶다고 하자. a가 가질 수 있는 기대값은 <a>로 표시하며, 간단한 계산을 통해
<a> = ∂ln Z / ∂b
임을 알 수 있다. 이 식을 위의 양자역학의 형식에 따라 해석해보면, 'b로 미분'은 시스템에 대한 측정에 해당하며 그 결과로 <a>라는 측정값이 나왔다고 볼 수 있다. 미분이 와닿지 않는다면, b를 살살 변화시키면서 시스템의 변화를 관찰함으로써 a에 관한 정보가 얻어진다고 할 수 있다. (말을 바꿔도 별로 소용 없을 것 같다.)
양자역학에서 운동량(모멘텀) 연산자는 파동함수를 위치로 미분하는 것과 같다는 것이 알려져 있는데 운동량과 위치는 역시 해밀토니안에 p * x 꼴로 포함될 수 있다. 대강의 아이디어는 정리했으나 설명이 깔끔하게 정리되지는 않는다. 그렇다보니 이글 제목도 뭔가 지저분하다는...;;
마지막으로 왜 양자역학에서는 파동함수를 그대로 쓰는데, 통계역학에서는 로그를 붙여서 (ln Z) 쓰는지 알아보자. 애초에 분배함수 Z는 H의 지수함수로 정의되었으므로 H를 다시 내려놓으려면 로그를 씌워야 한다는 것으로 일단 답을 대신하겠다.
