그러고보니 노이즈(noise)의 순우리말은 뭐가 좋을까? 잡음, 소음 말고. 왜냐하면 노이즈가 '음'만을 가리키는 것은 아니기 때문이다. 하여간 일단 노이즈로 쓴다.
어떤 확률 시스템(stochastic system)의 시간에 따른 변화를 기술하는 방정식 중에 랑제방 방정식이라는 게 있는데 여기에 노이즈 항이 포함된다. 노이즈도 여러 종류인데 그중에서도 백색 노이즈(white noise)가 많이(?) 쓰인다. 백색 노이즈 η(t)에는 다음과 같은 조건들이 자주 따라붙는다.
<η(t)> = 0
<η(t) η(t')> = δ(t - t')
여기서 꺾쇠는 평균을 의미한다. 첫번째 식은 말 그대로 노이즈의 평균이 0이라는 말이다. 두번째 식은 노이즈의 자체상관함수(autocorrelation function)가 델타 함수라는 말이다. 자체상관함수란 오늘의 나의 모습이 내일의 나의 모습과 얼마나 비슷한지를 정량화한 거라고 보면 된다. 나는 계속 변할테니 자체상관함수는 시간의 차이에 따라 줄어들 것이다. 그런데 그게 '줄어드는 정도'가 아니라 어떤 순간이 바로 다음 순간과 전혀 무관한 경우가 있을 수 있는데 자체상관함수가 델타 함수면 그렇게 된다.
이걸 왜 '백색'으로 부르냐면, 자체상관함수의 푸리에 변환은 곧 파워 스펙트럼인데, 델타 함수를 푸리에 변환하면 상수가 되고, 이는 곧 모든 주파수가 모두 똑같은 정도로 섞여 있는 상황을 뜻한다. 무지개 빛깔이 모두 섞여 있으면 백색으로 보이므로 이런 이름이 붙었다.고 한다.
이제 본론으로 들어가서;; 저 노이즈 η(t)의 차원은 뭘까? 자체상관함수를 다시 쓰면 다음과 같다.
∫dt η(t) η(t + Δt) = δ(Δt)
즉 시간이 Δt만큼 차이나는 두 노이즈를 곱해서 시간 t로 적분해준다는 말이다. 그런데 우변의 델타 함수는 차원이 없으므로 좌변의 차원도 없어야 한다. 즉 차원만 보면, [시간 * 노이즈^2] = 1이므로 [노이즈] = [시간^(-1/2)]이다. 여기까지는 정의로부터 자연스럽게 나오므로 문제 없다. 그런데 시간의 -1/2 제곱이라는 차원이 물리적으로 어떤 의미를 갖는가?라는 질문에는 아직 뭐라 답해야 할지 모르겠다.
