앞글에서 건드림이론(perturbation theory)을 간단히 소개했습니다. 앞글에서는 건드리기 전 해밀토니안 H_0이 에르미트(Hermitian)라고 가정하고, 또한 고유값들이 겹치지 않는 경우(nondegenerate)라고 가정한 경우에 에너지의 변화를 λ의 2차항까지 구했습니다. 이번에는 H_0가 에르미트이고, 고유값들이 겹치는 경우에 대해 풀어보겠습니다.
고유값이 겹치지 않는 경우에는 하나의 고유값에 하나의 고유벡터가 얻어졌습니다. 즉 각 고유벡터는 서로 다른 에너지에 대한 상태를 뜻합니다. 고유값이 겹치면, 에너지가 겹친다는 겁니다. 즉 여러 상태들이 같은 에너지를 갖는다는 거죠. 어떤 에너지 E_n^(0)에 해당하는 상태들이 여러개(α개) 있다고 하고 각각을 |nr^(0)>로 나타내겠습니다. r은 1부터 α까지의 자연수입니다.
제가 본 책에서는 이렇게 |nr>로 표시하지 않는데요, 그냥 앞글과 일관성을 유지하기 위해 이렇게 썼습니다. 다시 예를 들어, H_0을 '공부'라고 해보면요, 에너지가 0에 해당하는 상태가 '노는 상태'와 '자는 상태'가 있을 수 있다는 겁니다. 이 두 상태는 같은 에너지이므로 '겹쳐' 있는 거죠.
이 시스템을 V로 건드리면, 같은 에너지에 겹쳐 있던 상태들이 건드림에 의해 서로 다른 에너지를 가질 수도 있습니다.
그래서 앞글과는 달리 새로운 H에 대한 고유값(에너지)들은 n뿐만 아니라 r에 따라 다를 수도 있습니다. 역시 V를 '잡일'이라고 한다면, 노는 상태에 있다가 잡일에 의해 에너지가 달라지는데 이 변화량이 자는 상태에 있다가 잡일에 의해 달라지는 에너지량과 다를 수 있다는 말이죠;;;;
하여간 여기서도 아래처럼 에너지와 상태들이 λ로 전개될 수 있다고 가정하고 이걸 위 식에다 구겨넣은 다음에 같은 차수의 λ에 대해 정리해주면 됩니다.
고유값이 겹치지 않는 경우와 또 하나 다른 점은 |nr^(0)>을 그대로 안쓰고 이들의 선형결합인 |nr^(0)>'을 쓴다는 겁니다.(아래 왼쪽 식입니다.) λ=0일 때에는 같은 에너지에 여러 상태들이 겹쳐 있기 때문에 어떤 상태에 있는지를 결정할 수 없기 때문입니다.
그래서 여기에는 c_rs들을 결정해야 하는 문제가 생깁니다. 또한 |nr^(1)>은 |ks^(0)>들의 선형결합으로 가정하는데요, 역시 자연스러운 가정입니다. 이제 이러저러하게 풀면 아래 식을 얻습니다.
즉 V_nu,ns 로 이루어진 행렬의 고유값들과 고유벡터들을 구하면 E_nr^(1)과 c_rs를 모두 구할 수 있다는 말입니다. 이제 |nr^(0)>'도 알았으니 그 다음으로 a_nr,ks도 구할 수 있고, 블라블라 앞글에서처럼 λ의 2차항까지 에너지 변화량을 얻을 수 있습니다. 결과만 씁니다.
시작은 했으니 끝을 봐야겠지만, 귀찮아진다는;;; 다시 말씀드리지만, 책마다 기호나 표시방법이 다를 수 있습니다. 그리고 혹시 제가 틀린 부분이 있다면 알려주세요...
