간략히 정리하겠습니다.(라고 써놓고도 늘 길어졌지요.) 참고한 책은 D. Stauffer와 A. Aharony의 <Introduction to Percolation Theory>(스미기 이론의 기초? 스미기 이론 입문?)입니다.
1. 스미기(percolation)
격자 위의 각 자리가 0 또는 1의 값을 랜덤하게 갖는다고 하고 1을 가질 확률을 p라고 합니다. 1인 자리들이 이웃한 경우 이렇게 연결된 1들을 하나의 덩어리(cluster)라고 부릅니다. 아래 그림에서 하늘색 자리들이 연결되어 있는 덩어리를 볼 수 있지요.
http://www.ams.org/featurecolumn/archive/percolation.html
각 덩어리는 크기, 즉 그 덩어리를 이루는 자리의 개수 s로 나타낼 수 있습니다. s의 분포를 n(s)라고 합니다. 이는 곧 임의의 자리 1개를 골랐을 때 이 자리가 크기가 s인 덩어리의 일부일 확률을 나타내기도 합니다.
2. 스미기 전이(percolation transition)
p가 작으면 위 그림처럼 드문드문 덩어리들이 떨어져 있지만 p가 커지면 격자의 맨위와 맨아래(또는 맨왼쪽과 맨오른쪽)를 잇는 커다란 덩어리가 나타날 수 있습니다. 이런 걸 스미기 덩어리(percolating cluster)라고 부릅니다. 스미기 덩어리가 나타날 확률은 낮은 p에서는 0이고 높은 p에서는 0보다 큰데, 이 확률이 0보다 커지기 시작하는 순간의 p를 스미기 문턱값(percolation threshold; p_c)이라 부르며, 여기서 스미기 전이가 나타납니다.
3. 덩어리 크기 분포(cluster size distribution)
이 문턱값(p_c)에서는 n(s)가 s의 거듭제곱 꼴로 나타나며, 이를 특징짓는 거듭제곱 지수를 구할 수 있습니다. 이 글에서는 p가 p_c보다 작을 때와 클 때 n(s)가 어떤 모양인지에 대해 얘기하려고 합니다.
크기가 s인 덩어리의 둘레의 길이를 t라고 합시다. 크기가 s인 덩어리가 나타나려면 이 덩어리를 이루는 s개의 자리는 모두 p의 확률로 1이어야 하고, 그 둘레를 이루는 자리는 모두 1-p의 확률로 0이어야 합니다. 덩어리의 모양에 따라 t는 여러 값을 가질 수 있고, 또한 크기가 s이고 둘레가 t인 덩어리의 모양의 경우의 수, 즉 g(s,t)도 고려해줘야 합니다:
s가 매우 클 때 g(s,t)를 t에 대해 더해준 건 다음처럼 쓸 수 있다고 합니다(어떻게?). 아래에서 a는 적절한 상수입니다.
p가 문턱값보다 작은 경우, 좀더 강하게 말해서 p가 아주 작은 경우에 위 식의 t에 관한 항은 무시되어 다음처럼 쓸 수 있습니다.
p가 문턱값보다 큰 경우, 좀더 강하게 말해서 p가 1에 가까운 경우에 n(s)의 s에 관한 항은 무시할 수 있습니다. 그리고 d 차원 공간에서 t는 s와 다음과 같은 관계에 있다는 사실을 이용합니다. 아래 식에서 r은 덩어리의 길이를 나타냅니다.
그럼 자연스럽게 위 식처럼 결과가 얻어지겠죠. 여기서 s'_c은 적절한 상수입니다.
p가 문턱값보다 작을 때와 클 때의 중요한 차이는 공간 차원 d가 개입하느냐 아니냐에 있습니다. 그리고 그건 p에 따라 s가 중요하냐 t가 중요하냐로부터 나오는 차이인 거죠. 위 결과를 유도하는 과정에서 s의 거듭제곱 꼴에 관한 항을 무시했는데, p가 임계점 근처일 때는 거듭제곱 꼴 모양이 더 중요하지만 p가 임계점에서 멀어질수록 덜 중요해지므로 위 결과에서는 고려하지 않았습니다.
