요즘 청강하는 수업에서 바스 확산 모형(Bass diffusion model)에 대해 간단히 배웠습니다. 사용자들이 신제품을 구매할 때, 대중매체와 같은 온곳(global) 정보와 주변 이웃들과의 상호작용(word of mouth)이라는 한곳(local) 정보에 의해 영향을 받는데요, 이를 간단한 미분방정식으로 모형화한 겁니다.
F(t)는 시각 t에서 신제품을 구매한 사용자의 비율입니다. p는 온곳 정보에 의한 효과, q는 한곳 정보에 의한 효과이며 둘 다 음수는 아니어야겠죠. 우변에 1-F(t)가 붙는 건 한 번 구매한 사람은 그걸로 끝이라는 얘기입니다.
보면 아시겠지만 위 식은 정확히 풀 수 있고 F(t)가 S자형 곡선으로 그려진다는 것도 알 수 있습니다. 1969년에 소개된 매우 단순한 모형인데 실제 결과들을 매우 잘 설명해낸다고 하더군요. 너무 단순한 모형이라 그럴지도 모르겠습니다만, 잘 설명해낸다니 그런가 봅니다.
저 식을 보고 저는 이징 모형(Ising model)을 떠올렸습니다. 열적 요동이 없는, 즉 절대 영도에서 외부 자기장(p>0)이 일정하게 걸려 있고 스핀 사이의 상호작용(q)이 강자성일 때의 평균장 결과라는 거죠. 초기조건은 모든 스핀이 아래방향을 가리키는 거겠고요. 결국 시간이 무한히 흐르면 모두 외부 자기장과 같은 방향인 위를 가리키는 상태로 끝날 겁니다. 그렇게 되는 동안 시간에 따른 자기화(magnetization)가 F(t)로 기술된다고 보는 겁니다. (문득 이게 정확히 본뜨기가 되는지 헷갈리네요.)
