이 글은 다음 논문에 대한 간단한(?) 소개입니다. 논문 제목은 "Anisotropy and restricted universality of critical phenomena"입니다. 여기서 anisotropy는 비등방성이나 이방성으로 옮길 수 있는데 이방성을 택했습니다.
V. Dohm, Journal of Physics A: Mathematical and General 39 (2006) L259-L266.
결론부터 말하면 다음과 같습니다.
(1) 이방성 시스템의 임계현상을 등방성 시스템의 '보편적인' 임계현상으로 본뜰 수 있다.
(2) 등방성 시스템의 보편성은 격자 구조(geometry)에 의존하지만 다른 세부 사항에는 의존하지 않는다. 이를 제한된 보편성(restricted universality)이라 부른다.
그럼 등방성/이방성 시스템이 뭔지부터 말해야겠네요. 2차원 사각격자(rectangular lattice)를 봅시다. 아래 왼쪽은 각 점 위의 스핀 사이의 상호작용이 격자의 방향에 따라 달라지지 않는, 즉 등방성 시스템입니다. 아래 가운데와 오른쪽은 격자의 방향에 따라 상호작용이 달라지는 이방성 시스템입니다.
이방성 시스템에 대한 O(n) 대칭 d차원 φ^4 격자 모형은 다음의 해밀토니안으로 기술합니다.
v는 격자의 단위 세포의 부피, N은 스핀의 개수(즉, 시스템 전체의 부피는 V = Nv), φ_i는 d차원 격자 위의 위치 x_i에서의 n차원 장(field), r_0은 온도의 함수, u_0은 양의 상수, h는 외부 자기장, K_ij는 φ_i와 φ_j 사이의 상호작용 세기를 뜻하며, K_ij = K_ji인 경우만 고려합니다. H의 아래첨자 box는 3차원의 경우, 단위 세포가 직육면체 모양이라는 걸 뜻합니다. (더 일반적으로 orthorhombic이라고 하는데, 한국어로 '사방정계'라고 하네요;;; 뭔 말인지... 차라리 위키를 참고하세요.)
위 해밀토니안을 푸리에 변환해주면 다음처럼 된다고 합니다.
여기서 δK(k)는 다음처럼 정의되고 이걸 풀어 쓰면 그 아래줄이 나옵니다.
임계점 근처에서는 거시적인 요소, 즉 긴 파장을 갖는 요소만 중요하므로 작은 k에만 관심을 가지겠습니다. 그래서 k의 제곱항까지만 보고자 합니다. 임계점 근처가 아니라면 이렇게 못합니다. k의 제곱항의 계수 A_αβ는 d * d 행렬 A를 이룹니다. 이 행렬이 단위행렬이 아니면 이방성 시스템이라 부릅니다.
A의 고유값과 고유벡터를 구하고 이를 이용해서 A를 대각화(diagonalization)할 수 있습니다. 대각화된 행렬을 고유값의 행렬인 λ로 나누어주면 단위행렬을 얻을 수 있습니다. 대각화는 격자 축의 '회전'을, 고유값 행렬로 나누는 건 격자 축의 '눈금변환(rescaling)'을 뜻합니다.
결과적으로 위 왼쪽 식처럼 변환된 행렬 A'은 단위행렬이 되고(즉, 등방성 시스템), 그에 따라 k와 x_j는 위 가운데와 오른쪽식처럼 변환됩니다. 새로운 k' (x'_j)은 3차원의 경우 평행육면체(parallelepiped; 일반적으로 어떻게 번역하는지 모름;;; 일단 '평행면체'라고 할게요.) 모양이 됩니다. 변형된 해밀토니안은 다음과 같습니다.
여기서 δK(k)는 다음처럼 변형되는데, k'의 4제곱 항은 위의 텐서 B로부터 나오는 것 같습니다. 즉 변환된 해밀토니안은 '정확히' 등방성이 아니라 '점근적으로(asymptotically)' 등방성입니다.
위 해밀토니안을 다시 역푸리에 변환하면 다음처럼 쓸 수 있고 이는 변환하기 전의 해밀토니안과 같은 형태입니다.
결론적으로,
입니다. 즉 사방정계 격자 위에서 A라는 이방성 행렬로 기술되는 이방성 시스템의 해밀토니안은 평행면체 격자 위의 등방성 시스템으로 본뜰 수 있으므로, 등방성 시스템의 보편성 분류를 그대로 적용할 수 있습니다. 그러나 이는 등방성 시스템에 적용되는 '두 눈금요소 보편성'으로는 설명되지 않는데, A라는 행렬에 d(d+1)/2개의 보편적이지 않은 상수가 있으며 이들이 일부 보편성(제 생각에는 아마도 임계지수는 아니고 진폭조합)에 영향을 주기 때문입니다. (논문에는 d(d+1)/2+1개라고 하는데 나머지 1개는 어디서 나왔는지 모름.) 그러므로 '두' 눈금요소가 아니라 '여러 눈금요소 보편성'의 개념이 필요합니다.
A의 보편적이지 않은 상수들은 시스템의 격자 구조뿐만 아니라 상호작용의 이방성에 대한 정보도 포함하고 있으며, 논문에서는 간단히 '기하(geometry)'라고 표현합니다. 시스템의 기하 A에 의존하지만 다른 세부 사항(즉 r_0, h, u_0)에는 의존하지 않는 보편성이므로 이를 제한된 보편성이라 부른답니다.
수식 넣기 힘드네요;;;
