역시나 딱딱한 제목입니다. 오늘은 1984년 <피지컬 리뷰 비(PRB)>에 실린 프리브만과 피셔(V. Privman and M.E. Fisher)의 논문을 소개합니다. 원래 제목은 "Universal critical amplitudes in finite-size scaling"입니다. 최근에 올린 글들과 연관되는 내용입니다.
환산온도 t, 외부 자기장 h가 걸려있는 강자성 시스템의 특이성 부분에 관한 자유에너지 밀도는 특히 임계점 근처에서 다음처럼 씁니다.
임계지수, 눈금잡기 함수는 시스템의 세부 사항과 무관하게 보편적이며, 세부 사항에 의존하는 보편적이지 않은 요소들은 계량요소(metric factor) A_1, A_2에 포함되어 있다는 게, '두 눈금요소 보편성'(two-scale factor universality)이라고 했습니다.
크기가 유한한 시스템(여기서는, 한 변의 길이가 L인 d차원 격자)에서는 자유에너지가 L을 포함해야 합니다. 특히 임계점 근처에서는 다음처럼 씁니다.
여기서도 C_1, C_2에 보편적이지 않은 정보들이 포함되어 있으며, 임계지수들과 눈금잡기 함수 Y는 모두 보편적입니다. 이 식을 맨 위의 식처럼 다시 쓸 수 있습니다.
상관길이 ξ가 시스템 크기 L과 경쟁하므로 이 둘의 비율이 눈금잡기 함수의 두번째 변수가 됩니다.
다시 크기가 무한한 시스템, 또는 경계로부터 멀리 있어서 시스템 크기의 한계가 느껴지지 않는 위치에서, 두점 상관함수(two-point correlation function) G와, 이를 공간으로 적분해서 얻어지는 감수율 χ와, G의 r을 무한대로 보내서 얻어지는 자기화 m을 보겠습니다.
자기화와 감수율은 맨 위에 쓴 자유에너지 밀도를 h로 각각 한 번과 두 번 미분해서 얻을 수 있습니다. 임계지수 사이의 관계식을 이용하면 아래처럼 정리됩니다.
W의 아래첨자 1,2는 각각 W를 h로 한 번, 두 번 미분했다는 걸 뜻합니다. 함수 밖에 나와 있는 |t|의 지수가 저렇게 된 건, α + 2β + γ = 2라는 관계식을 이용했기 때문입니다. 이제 임계점 근처에서 상관길이가 환산온도와 아래처럼 진폭 c_0로 연관되어 있다고 하겠습니다.
G로부터 유도된 자기화, 감수율이 자유에너지로부터 유도한 자기화, 감수율과 같다는 조건을 이용하면 임계지수 사이의 눈금잡기 관계식 뿐만 아니라 진폭들 사이의 관계식이 나옵니다.
다만 보편 눈금잡기 함수의 모양은 같아도 함수값이나 변수는 상수배만큼의 차이가 있을 수 있습니다. 이를테면, 어떤 함수 g(x)와 a g(bx)가 모두 보편적이라면 상수 a, b도 모두 보편적이어야 합니다. [오후 9시 9분, 이 부분은 생각해봤는데 아직 명쾌하지 않습니다. 그래도 다시 써보면, 어떤 함수 f(x)와 g(x)가 모두 보편적인데 f(x) = a g(bx)라면 a, b도 보편적이어야 합니다.] 즉 보편상수이며 이들은 다음처럼 Q로 나타냅니다.
서로 다른 함수에서 정의되었던 A들과 D들이 보편상수 Q로 연결되어 있다는 것을 알 수 있습니다.
원래, 유한크기 눈금잡기(FSS)에 대해 더 써야 하는데, 보편상수 Q를 유도하는 것까지밖에 못썼네요. 그래도 배가 고파서 더 못하겠습니다. 그럼 다음에...
