그냥 넘어가려다 찝찝해서 앞 글에 내용을 덧붙입니다. 유한크기 눈금잡기(finite-size scaling; FSS) 함수를 다시 씁니다.
Y는 보편 눈금잡기 함수입니다. 이걸 h로 한 번 미분하면 자기화, 두 번 미분하면 감수율이 각각 나오고, 4번 미분하면 '비선형 감수율(nonlinear susceptibility)'이 나옵니다.
Y의 아래첨자 2, 4는 미분을 몇 번 했는지를 뜻합니다. 이로부터 임계점에서 아래의 관계식을 얻을 수 있습니다.
Y가 보편 함수이니 Y의 진폭들, 즉 자연수 n에 대해 Y_n(0,0)들도 보편상수들이고, U_1도 보편적입니다. 이 내용 뒤에 뭔가 중요해보이는 논의가 이어지는데 잘 정리가 안되네요. 뻔한 얘기 같기도 하고 아닌 것 같기도 하고;;;
다음으로, d-1차원은 크기가 L이고 1개의 차원만 무한히 긴 실린더 모양의 격자를 생각하겠습니다. 전달행렬(transfer matrix)의 고유값 중 가장 큰 것부터 차례대로 Λ_j (j=0,1,2,...)라고 하면 각 고유값에 해당하는 자유에너지 수준(free-energy level)과 그에 따른 실질 상관길이(effective correlation length)는 다음처럼 씌어집니다.
a는 무한히 길 실린더의 격자 크기(lattice spacing)입니다. 그리고 다음처럼 각 자유에너지 수준에서 부피(bulk) 자유에너지 밀도를 뺀 값이 이전의 FSS 형태로 씌어질 수 있다고 가정합니다. 아래 식에서 Y 아래첨자 j는 전달행렬의 j번째 고유값에 해당한다는 것을 뜻하며 j에 대한 미분이 아닙니다.
이 식들을 종합하면 아래의 결과를 얻습니다.
위 식의 우변은 보편 함수의 진폭이므로 보편적인 진폭입니다. 즉 임계점에서 L/ξ는 보편적인 값을 갖는다는 걸 알 수 있습니다. 참고로 j=1일 때 이 값은 πη로 알려져 있다고 합니다.
여기서도 이방성 격자에 관한 얘기가 나오는데요, 이방성은 RG의 관점에서 경계에 있다(marginal)고 합니다. 즉 임계현상을 바꾸는 것도 아니고 바꾸지 않는 것도 아닙니다.는 아니고 바꾸지 않되... 보정항 같은 효과가 나겠죠? (잘 모릅니다;;;) 그래서 이방성 격자 위에서 어떤 양을 재도 그것이 등방성 격자 위에서 잰 양의 임계현상을 바꾸지는 않습니다.
논문을 보다보니 '두 눈금요소 보편성'이라는 개념은 1972년 쉬타우퍼 등이 쓴 PRL 논문으로 거슬러 올라가는 것 같습니다. 37년 전에 나온 거라니... 까마득하군요.
