비열에 관해 간단히 메모해둡니다. 자유에너지 A는 내부에너지 E, 온도 T, 엔트로피 S와 다음 관계에 놓여 있습니다.
$$A=E-TS \to dA=dE-TdS -SdT = -SdT$$
부피 변화가 없다고 하면 내부에너지의 변화는 열의 출입으로만 설명할 수 있고 가역 과정에서 열의 변화는 T dS로 나타낼 수 있으므로 위의 마지막 결과가 나옵니다. 그러므로,
$$S=-\frac{\partial A}{\partial T}$$
입니다. 이걸 이용해서 내부에너지를 다시 씁니다.
$$E=A+TS=A-T\frac{\partial A}{\partial T}$$
비열은 온도를 변화시키면서 내부에너지가 얼마나 변하는지를 나타내는 양이므로, 다음과 같습니다.
$$C\equiv\frac{\partial E}{\partial T}=-T\frac{\partial^2 A}{\partial T^2}$$
비열의 단위는 에너지를 온도로 나눈 것이고 당연히 위 가운데 식과 오른쪽 식 모두 이를 만족합니다. 그런데 온도로 미분한 횟수는 서로 다릅니다. ... 그랬다고 합니다.
