이번주에 열린 제7회 통계물리 겨울학교에서 푸아송 합공식(Poisson summation formula; PSF)을 증명하는 문제가 강의 중 과제로 나왔습니다. PSF는 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dx F(x) e^{-2\pi imx}$$
좌변만 보면 F는 정수만 인수로 갖는 것처럼 보이지만 일반적으로 실수를 인수로 가집니다. 이 F를 푸리에 변환합니다.
$$F(x)=\int_{-\infty}^\infty dk \hat F(k) e^{2\pi i kx},\ \hat F(k)=\int_{-\infty}^\infty dx F(x) e^{-2\pi i kx}$$
이를 이용해 PSF의 좌변을 다시 씁니다.
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)= \int_{-\infty}^{\infty}dk\hat F(k)\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}$$
우변의 n에 대한 합은 k가 정수일 때는 무한대로 발산, 그렇지 않을 때는 0이 됩니다. 델타 함수로 이를 다시 표현하면 아래와 같습니다.
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(k-m)$$
이로부터 PSF의 우변이 나옵니다.
