자기닮음(self-similarity)은 어떤 대상의 부분을 확대해도 전체와 비슷한 모양이라는 걸 뜻합니다. 자기유사성이라고도 하고 흔히 '프랙탈 구조'로도 알려져 있습니다. 이 개념을 수학적으로 표현하면 거듭제곱 꼴/분포(power-law form/distribution), 척도 없는 분포(scale-free distribution)입니다. 뉴만의 2005년 논문 <거듭제곱 법칙, 파레토 분포, 지프 법칙> 중 "자기닮음의 수학적 표현은 거듭제곱 꼴임을 증명"하는 내용을 소개합니다.
어떤 대상을 p(x)라는 함수로 표현합시다. 예를 들어 산에 도로를 낸다고 도로를 낸 부분만 산을 절벽처럼 깎아버린 모습을 종종 보셨을 겁니다. 그게 산의 단면이죠. 이 단면을 정면에서 보면 도로 한쪽 끝으로부터의 거리 x에서 산의 높이 p(x)를 그려볼 수 있습니다. 또는 x를 시간으로 보면, 지난 20년 동안 주가지수의 변동을 p(x)로 나타낼 수도 있지요.
어떤 대상의 부분을 확대해도 전체와 비슷하다는 말을 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.
$$p(bx)=g(b)p(x)$$
x를 b배 (확대 또는 축소)해서 봐도 대상의 모양, 즉 함수 형태는 여전히 p(x)이며 다만 거기에 b에 의존하는 상수만큼 곱해집니다. 이 식을 만족시키는 유일한 형태가
$$p(x)=Cx^{-\alpha}$$
라는 걸 보이려고 합니다. 맨 위 식에 x=1을 넣습니다.
$$p(b)=g(b)p(1)\to g(b)=p(b)/p(1)\ \therefore p(bx)=\frac{p(b)p(x)}{p(1)}$$
양변을 b로 미분한 후 b=1을 대입합니다.
$$x\frac{dp(x)}{dx}=\frac{p'(1)}{p(1)}p(x)= -\alpha p(x),\ \alpha\equiv -\frac{p'(1)}{p(1)}$$
이 미분방정식을 풉니다.
$$\ln p(x)=-\alpha\ln x + \ln p(1)$$
맨 오른쪽 항은 적분상수인데 x=1에서의 값으로 맞추었습니다.
$$p(x)=p(1)x^{-\alpha},\ \alpha=-\frac{p'(1)}{p(1)}$$
뉴만의 논문에서 α가 제가 구한 것과는 역수인데, 뉴만이 실수한 것으로 보이네요. 끝.
