복제자 동학을 조금 다르게 유도한 내용이 바이불(Jorgen W. Weibull; 발음 맞나요?)의 <Evolutionary Game Theory>(1995) 71-73쪽에 나와서 소개하겠습니다. 일부는 저에게 익숙한 표기로 바꾸어 쓰겠습니다;;;
어떤 시각 t에 전략 i를 이용하는 개체수를 ni(t)로 나타내고, 총 개체수 중 전략 i를 이용하는 개체수의 비율을 xi(t)로 나타냅니다.
$$n(t)=\sum_i n_i(t),\ x_i(t)=n_i(t)/n(t)$$
모든 i에 대해 동일하게 배경 적합도 β와 사망률 δ가 주어진다고 합시다. 시간에 대한 미분을 변수 위의 점으로 표시하면, 다음과 같은 방정식을 쓸 수 있습니다.
$$\dot{n}_i=[\beta+u(h^i,x)-\delta]n_i$$
이 식과 위 xi의 정의로부터,
$$n\dot{x}_i=\dot{n}_i-\dot{n}x_i =[\beta+u(h^i,x)-\delta]n_i-[\beta+u(x,x)-\delta]nx_i$$
$$=nx_i[u(h^i,x)-u(x,x)]$$
마지막으로 양변을 n으로 나누면 다음과 같은 복제자 동학 방정식이 나옵니다.
$$\dot{x}_i=x_i[u(h^i,x)-u(x,x)]$$
<게임이론과 진화 다이내믹스>의 결과와 다른 점은 우변의 분모에 u(x,x)가 없다는 것입니다. 애초에 평균보수에 비례하여 늘어나는 게 개체수(ni)냐 그 비율(xi)이냐의 차이인데 전자의 경우 총 개체수(n(t))가 계속 변하지만 후자의 경우 총 개체수는 고정되어 있다고 보는 차이가 있는 것 같네요. 차이가 나는 건 당연한데, 어느 쪽을 받아들일 거냐의 문제가 남습니다.
사실 <게임이론과 진화 다이내믹스>에서 예제를 소개하면서부터는 분모의 u(x,x)가 없는 바이불의 공식을 따릅니다. 분모에 u(x,x)가 있다고 해도 문제가 되는데, u(x,x)가 0이 되는 게임도 있을 수 있는데 이러면 식 자체가 성립되지 않아 난감해집니다.
그리고 아무래도 동학적 분석에 대한 예제가 없으니 허전하네요. 아래 보수행렬로 표현되는 조정 게임(coordination game)을 봅시다.
$$\begin{array}{c|c|c} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 & 1,\ 1 & 0,\ 0 \\ 2 & 0,\ 0 & 2,\ 2 \\ \hline \end{array}$$
내쉬균형은 (1,1)과 (2,2)임을 알 수 있죠. (2,2)의 보수가 (1,1)의 보수보다 높지만 경기자들이 일단 (1,1)을 선택했다면 전략을 바꿀 유인이 없습니다. 집단 내에서 전략 1을 쓰는 경기자의 비율을 x1이라 하면 전략 2를 쓰는 경기자의 비율은 x2=1-x1이 됩니다.
$$u(h^1,x)=x_1 \pi(1,1)+(1-x_1)\pi(1,2)=x_1 $$
$$u(h^2,x)=x_1 \pi(2,1)+(1-x_1)\pi(2,2)=2(1-x_1) $$
$$u(x,x)=x_1 u(h^1,x)+x_2 u(h^2,x)=x_1^2+2(1-x_1)^2 $$
이로부터,
$$\dot{x}_1=x_1[u(h^1,x)-u(x,x)]=x_1(1-x_1)(3x_1-2)$$
입니다. 좌변을 0으로 놓으면 이로부터 내쉬균형(비선형 동역학 용어로는 고정점) 3개가 나옵니다: x1=0, 2/3, 1. 게임이 시작되는 초기에 x1이 2/3보다 크다면 x1은 계속 커지기만 하다가 결국 (1,1)로 끝나겠죠. 초기에 x1이 2/3보다 작다면 x1은 계속 줄어들다가 결국 (2,2)에서 끝납니다. 즉 이 둘은 ESS입니다. x1이 처음부터 정확히 2/3에 있었다면 계속 그 상태를 유지하겠지만 약간의 요동에도 균형을 잃고 x1=0 또는 1로 끝나게 되겠죠. 뭐 이런 식입니다. 이외에도 다양한 예가 있는데 궁금하시면 책을 보세요. 끝.
