1차원 이징 모형(Ising model) 풀이

이징 모형(Ising model)은 평형통계물리에서 다루는 시스템 중 가장 단순하면서도 중요하며, 또한 정확히 풀리는 모형 중 하나입니다. 1차원 이징 모형이 이징에 의해 1925년에 풀렸고, 2차원 이징 모형은 온사거에 의해 1944년에 풀렸으며, 3차원은 아직 풀리지 않았고, 4차원 이상은 평균장 어림으로 풀린다는 게 알려져 있죠. 이외에도 척도 없는 연결망에서 평균장 어림을 이용하여 풀렸습니다.

이 글에서는 제목에 쓴대로 1차원 이징 모형을 풀어보겠습니다. 플리쉬케(Plischke)와 버거슨(Bergersen)이 쓴 <Equilibrium Statistical Physics> 3판의 6장을 참고했습니다.(라고 쓰고 요약했습니다.로 읽는다;;;)

크기가 N인 1차원 격자의 양 끝이 이어져 있다고 합시다. 이 격자 위의 이징 모형을 나타내는 해밀토니안은 다음과 같습니다.

$$H=-J\sum_{i=1}^N\sigma_i\sigma_{i+1}-h\sum_{i=1}^N\sigma_i,\ \sigma_{N+1}=\sigma_1$$

이징 스핀 사이에는 J라는 상호작용이 있고 각 스핀에는 외부 자기장 h가 균일하게 가해지는 것으로 놓았습니다. 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.

$$Z=\sum_{\{\sigma\}}e^{-\beta H}=\sum_{\{\sigma\}} e^{\beta h\sigma_1}e^{K\sigma_1\sigma_2} e^{\beta h\sigma_2}e^{K\sigma_2\sigma_3}\cdots e^{\beta h\sigma_N}e^{K\sigma_N\sigma_1},$$

$$K=\beta J$$

각 스핀 σ는 1 또는 -1의 값을 갖는데, 이걸 파울리 행렬로 나타내겠습니다. 우선 파울리 행렬은 다음과 같습니다.

$$\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},\ \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix},\ \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$$

이제 분배함수의 각 요소를 하나씩 봅니다. 먼저 βh가 있는 요소를 보면 각 스핀이 1 또는 -1이므로 아래처럼 두 경우밖에 없습니다.

$$e^{\beta h\sigma_i}=\left\{ \begin{array}{ll} e^{\beta h}=\langle+|e^{\beta h\sigma_z}|+\rangle \ \textrm{if}\ \sigma_i=1 \\ e^{-\beta h}=\langle-|e^{\beta h\sigma_z}|-\rangle\ \textrm{if}\ \sigma_i=-1 \end{array}\right.$$

그 각각을 위의 오른쪽처럼 파울리 행렬 중 z성분으로 나타냅니다. 이때 +와 -는 각각 스핀이 1인 상태, 스핀이 -1인 상태를 나타냅니다. 헷갈릴 수 있는데요, 맨 왼쪽의 σ_i는 '값'이고 맨 오른쪽의 σ_z는 '행렬'입니다. 그래서 이 행렬에 + 또는 -로 표현된 상태가 앞뒤로 곱해져야 '값'이 되겠죠. 편의상 σ_z를 지수로 갖는 부분을 V₁로 정의합니다.

$$V_1\equiv e^{\beta h\sigma_z}=\begin{pmatrix} e^{\beta h} & 0 \\ 0 & e^{-\beta h} \end{pmatrix},\ \langle+|V_1|-\rangle=\langle-|V_1|+\rangle=0$$

이제 K가 있는 요소를 봅니다. 이 요소의 값은 이웃한 두 스핀 값이 같으냐 다르냐에만 의존합니다.

$$e^{K\sigma_i\sigma_{i+1}}=\left\{ \begin{array}{ll} e^{K}=\langle+|V_2|+\rangle=\langle-|V_2|-\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i=\sigma_{i+1} \\ e^{-K}=\langle+|V_2|-\rangle=\langle-|V_2|+\rangle & \textrm{if}\ \sigma_i\neq \sigma_{i+1} \end{array}\right.$$

$$V_2=\begin{pmatrix}e^K & e^{-K} \\ e^{-K} & e^K \end{pmatrix} = e^K 1+e^{-K}\sigma_x$$

맨 오른쪽의 첫번째 항의 1은 단위행렬을 뜻합니다. V₂는 다음처럼 다시 쓸 수도 있습니다.

$$V_2=A(K)e^{K^*\sigma_x}$$

A(K)와 K^*는 모두 K의 함수고요, V₁처럼 V₂도 이런 식으로 써줘야 나중에 풀기가 쉬워집니다. 이제 A(K)와 K^*를 K와 연관짓겠습니다.

$$A(K)e^{K^*\sigma_x}=A\sum_{j=0}^\infty \frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x^j = A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}1+A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}\sigma_x$$

즉 지수함수를 그냥 푼 다음에 짝수번째 항들과 홀수번째 항들로 나눕니다. 그리고나서 σ_x의 제곱은 단위행렬, 즉 1이 된다는 사실을 이용합니다. 위 결과를 처음 V₂의 정의와 비교합니다.

$$A\sum_{j=2k}\frac{K^{*j}}{j!}=e^K,\ A\sum_{j=2k+1}\frac{K^{*j}}{j!}=e^{-K}$$

이로부터 아래 결과를 얻습니다.

$$A(K)=\sqrt{2\sinh 2K},\ \tanh K^*=e^{-2K}$$

지금까지 얻은 결과를 이용해서 분배함수를 다시 씁니다.

$$Z=\sum_{\{\mu\}}\langle \mu_1|V_1|\mu_2\rangle \langle \mu_2|V_2|\mu_3\rangle \langle \mu_3|V_1|\mu_4\rangle\cdots \langle \mu_{2N}|V_2|\mu_1\rangle = \textrm{Tr} (V_1V_2)^N$$

즉 두 행렬의 곱 V₁V₂의 고유값만 알면(이를 각각 λ₁과 λ₂로 씁시다) 분배함수를 바로 얻습니다.

$$Z=\lambda_1^N+\lambda_2^N$$

여기서 V들을 전달행렬(transfer matrix)이라 부릅니다. 그리고 상호작용하는 N개의 스핀에 관한 문제가 1개의 스핀에 대한 문제로 환원되었음을 보았습니다. 원래 시스템의 스핀은 그 값이 1 또는 -1로 정해져 있다는 의미에서 '고전적 스핀'이고, 환원된 후의 스핀은 파울리 행렬로 표현되는 '양자 스핀'입니다. 1차원 고전 모형이 0차원 양자 모형과 같음을 보인 것이죠. (0차원은 곧 단 1개의 스핀에 대한 문제라는 뜻입니다.) 그래서 일반적으로 d+1차원 고전 모형이 d차원 양자 모형에 대응된다고 말합니다.