앞 글에 이어 "도시에서 눈금잡기의 원인" 논문의 뒷 부분을 소개하겠다. 도시의 하부구조가 h개의 위계수준으로 이루어진 연결망이라고 가정한다. 도로망의 경우 고속도로에서 간선도로와 지선도로로 갈라지다가 골목길에 이르기까지 위계가 있다고 할 수 있다. 상위 수준에서 하위 수준으로 내려올 때마다 연결망의 가지치기 비율이 b라고 하자. 각 수준을 i=1,...,h로 나타낸다. 그럼 각 수준에서 하부구조 단위의 개수는 다음과 같다.


$$N_i=b^i,\ N_h=N$$


위 두번째 식은 가장 낮은 수준(i=h)의 단위 개수는 도시의 인구와 같다는 가정을 뜻한다. 수준 i에서 연결망 단위(예를 들어 길)의 길이는 l_i, 이 길이 지나가는 땅의 면적은 a_i, 가로지름 길이(지름)는 s_i라고 한다. 또한 가장 낮은 수준의 지름은 인구와 상관없이 일정하다(s_*)고 가정하고, 가장 높은 수준의 지름은 연결망 부피에 비례한다고 가정한다. 정리하면 다음과 같다.


$$s_h=s_*,\ s_0=s_*N^{1-\delta}\ \to s_i=b^{(1-\delta)(h-i)}$$


각 수준에서 각 단위의 면적도 위와 비슷하게 이끌어낼 수 있다.


$$a_h=\frac{A}{N}=ab^{(\alpha-1)h},\ a_0=a\ \to a_i=ab^{(\alpha-1)i}$$


덧붙여, 하부구조는 도시의 모든 사람에게 도달해야 하므로, 총 연결망 길이는 면적을 채운다(area filling)고 한다. 즉 각 수준 i에서 단위 면적 a_i는 연결망 단위로 채워져야 하므로 연결망 단위 길이 l_i에 폭 l을 곱한 값과 같아야 한다. 이제 이로부터 총 연결망 길이와 총 연결망 면적을 구한다.


$$L_n=\sum_{i=0}^h l_iN_i\simeq L_0N^\alpha,\ L_0=\frac{a}{l}$$


$$A_n=\sum_{i=0}^h s_il_iN_i\simeq A_0N^{1-\delta},\ A_0=\frac{s_*a}{l(1-b^{\alpha+\delta-1})}$$


다음으로 도시의 하부구조 연결망을 통해 사람, 상품, 정보를 운송할 때 드는 에너지로서 도시 유지비용을 계산한다. 이 흐름을 전류처럼 생각하는데 각 수준에서 총 전류 J_i는 가로지름 길이(s_i), 전하밀도(ρ_i), 평균속도(v_i), 단위 개수(N_i)의 곱으로 얻어지며, 한 수준의 총 전류와 다른 수준의 총 전류가 같다고 가정한다. 즉 골목길을 통해 이동하는 상품의 총량은 간선도로를 통해 이동하는 상품의 총량과 같다는 식이다.


$$J_i=s_i\rho_iv_iN_i=s_{i-1}\rho_{i-1}v_{i-1}N_{i-1}=J_{i-1}$$


역시 가장 낮은 수준의 개인적 필요인 ρ_hv_h는 도시 인구와 무관하게 일정한 값이라고 가정한다.


$$\rho_iv_i=b^{\delta(h-i)}\rho_*v_*,\ J_i=J=J_0N,\ J_0=s_*\rho_*v_*$$


이제 하부구조 연결망의 각 단위로 운송할 때마다 소비되는 에너지를 구하기 위해 각 단위를 저항을 가진 도체로 본다. 그리고 단위 길이, 단위 단면적 당 저항이 모두 똑같은 r이라고 가정한다. 그럼 각 수준에서 각 단위의 저항 r_i는 rl_i/s_i가 되며, 이들이 병렬 연결되어 있다고 가정하면 각 수준의 총저항은 다음과 같다.


$$R_i=\frac{r_i}{N_i}=\frac{ar}{ls_*}b^{-(1-\alpha+\delta)i-(1-\delta)h}$$


이로부터 총 소비 일률을 구한다.


$$W=J^2\sum_{i=0}^h R_i\simeq W_0N^{1+\delta},\ W_0=\frac{arJ_0^2}{ls_*(1-b^{-1+\alpha-\delta})}$$


논문에서는 위의 합을 i=1부터 구한다고 하는데 오타인 것 같다. 결과적으로 총에너지소비도 인구에 따라 선형보다 빠르게 커진다. 사회경제적 산출 Y도 마찬가지인데, 그래서 도시 효율이라 할 수 있는 Y/W는 도시 크기(인구)와 무관하다는 것을 알 수 있다.


마지막으로 Y-W를 최대화하는 G=ga_0l의 최적값을 이끌어낼 수 있다. G는 1인당 사회적 산출로 보면 된다.


$$\mathcal{L}=Y-W\sim G^{1-\alpha}-G^\alpha$$


지저분한 상수는 다 빼고 G만 썼다. α는 2/3쯤 되는데 그래서 위 식은 G가 0보다 커지면서 커지다가 줄어들게 되며 결국 음수가 된다. Y-W가 양수인 영역에서 도시가 나타나며, Y-W가 음수가 되면 도시는 불안정해진다. 또한 Y-W가 최대가 되는 G^*를 찾을 수 있는데 실제 G가 이 최적값보다 작으면 아직 개발이 덜 된 상태로 볼 수 있고 반대로 실제 G가 이 최적값보다 크면 지나치게 큰 이동비용이 사회경제적 성과를 갉아먹는 상태로 볼 수 있다고 한다.


일단 주요한 계산 결과를 죽 훑었는데 '왜' 그런지는 다시 한 번 꼼꼼히 살펴봐야 한다. 여기까지.