한 달 쯤 전에 통계장론을 공부하면서 나온 란다우-긴즈버그 모형을 소개한 적이 있습니다. 그때는 파리시의 책에 나온 내용을 정리했는데, 오늘은 Itzykson과 Drouffe의 <통계장론> 5장에 나온 내용을 정리하겠습니다. 파리시보다는 깔끔하고 설명도 잘 되어 있습니다.
시스템의 어떤 상태 또는 짜임새(configuration)는 위치에 따라 변하는 장 φ(x)로 표현됩니다. 라그랑지안은 이 장의 함수이고 다음처럼 쓸 수 있다고 했죠. 여기서는 φ를 -φ로 바꾸어도 라그랑지안이 변하지 않는, 즉 Z_2 대칭이 있는 시스템만 고려합니다.
장이 위치에 상관없이 모두 똑같다면 우변의 첫째항이 사라지는데, 이는 평균장 결과가 되겠죠. 즉 우변의 첫째항은 평균장으로부터의 요동을 기술하는 항으로 볼 수 있습니다. 실제로 시스템의 상호작용은 국소적인데 이 국소성(locality)은 장의 미분 회수가 가능한 한 제한됨으로써 보장될 수 있습니다. (어떤 함수를 더 많이 미분할수록 더 멀리에 있는 값들까지 필요해지니까요.)
이 시스템의 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.
분배함수만 구하면 이걸 이리저리 미분해서 다른 물리량들을 얻을 수 있다고 했습니다. 지금은 거기까지 가지 않고요, 위의 라그랑지안에 대해 차원분석을 함으로써 4차보다 높은 고차항들이 왜 무시될 수 있는지를 보이려고 합니다.
우선 차원의 기본단위로 모멘텀을 씁니다. 또한 작용은 차원이 없다고 놓겠습니다. 위 분배함수에서 지수 위에 있는 게 작용(action)인데 지수함수의 변수는 차원이 없기 때문입니다. 모멘텀의 차원이 1이므로 길이의 차원은 -1이 됩니다. 이걸 이용해서 라그랑지안의 차원, 장의 차원, m_0와 g_0의 차원도 위 식들로부터 다 이끌어낼 수 있습니다.
여기서 [A]는 A의 차원을 뜻합니다. 그리고 물론 d는 시스템의 공간차원입니다. 좀더 일반적으로 장의 n_1 제곱을 x로 n_2번 미분한 항의 계수의 차원도 얻을 수 있습니다.
마지막에 정의한, 이 계수의 차원 δ를 표준차수(canonical degree; 정준차수?)라고 합니다. 그래서 g는 모멘텀의 -δ 제곱에 비례한다고 할 수 있습니다. δ가 양수라면 모멘텀이 매우 큰 영역에서 이 계수는 0으로 줄어들 겁니다. 즉 중요하지 않은(irrelevant) 항이 됩니다. 이는 또한 되틀맞춤(renormalization)을 하는 과정에서 걸러진다(filter)는 말입니다.라고 합니다;;
이제 위의 표준차수를 각 공간차원에 대해 보겠습니다. 2차원(d=2)인 경우, n_2가 0이라면 δ는 n_1에 상관없이 -2입니다. 즉 맨 위에 쓴 라그랑지안에서 φ의 4차항이 중요하다는 걸 알 수 있습니다.
3차원인 경우, 역시 n_2가 0이라면 n_1이 6인 항까지 중요해집니다. 이 φ의 6차항으로 인해서 1차 상전이가 가능해지고 또한 삼중임계현상(tricritical phenomena)도 나타납니다.
4차원인 경우, 맨 위에 쓴 라그랑지안의 모든 항에 대해 양이 아닌 표준차수가 나옵니다. 또한 위에 쓴 항들보다 더 높은 차수 또는 더 많은 미분을 한 항들에 대해서는 표준차수가 0보다 크다는 걸 알 수 있습니다.
우리가 주로 관심을 갖는 시스템은 4차원보다는 작으므로 (연속상전이에만 초점을 두는 경우) 차원분석을 통해 맨 위에 쓴 라그랑지안보다 더 큰 차수의 항들을 고려할 필요는 없다는 것을 알 수 있습니다. 물론 더 높은 차수의 항들이 실제로 존재할 수 있고 그로 인해 임계점의 위치가 달라질 수는 있어도 임계현상의 거시적 거동을 기술하는 임계지수까지 바꾸지는 못한다는 것을 알 수 있습니다.
