이 글에서는 무한히 펼쳐진 공간이 아니라 길이가 유한한 구간 안에서 일어나는 확산을 다룹니다. 게다가 확산하다가, 즉 마구 걷개들이 마구 걷다가;;; 구간의 끝에 다다르면 사라져버리는 '흡수 방식(absorption mode)'을 생각합니다. 사라지지 않고 남은 걷개들의 비율, 즉 살아남을 확률, 즉 생존확률이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 계산하려고 합니다.
시각 t에 위치 x에 있는 걷개들의 농도(concentration)를 c(x,t)라 씁니다. 길이가 L인 유한한 구간은 [0,L]로 씁니다. 처음(t=0) 농도의 총합은 1이라고 합시다.
$$\int_0^L c(x,t=0)dx=1$$
생존확률은 다음처럼 정의됩니다.
$$S(t)\equiv \int_0^L c(x,t)dx$$
농도의 확산은 다음 방정식으로 기술됩니다.
$$\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial^2 c(x,t)}{\partial x^2}$$
구간의 끝에서 사라지는 조건, 즉 흡수벽(absorbing wall)과 같은 경계조건은 다음처럼 나타냅니다.
$$c(0,t)=c(L,t)=0$$
보시다시피 운동방정식과 그 경계조건이 주어져 있고 이로부터 구하고자 하는 생존확률까지 잘 정의되었지요. 이제 잘 풀면 됩니다. 하는김에 푸는 과정도 쓰겠습니다. c의 변수가 분리된다고 합시다.
$$c(x,t)=f(t)g(x)$$
이걸 운동방정식에 넣으면 아래 왼쪽이 됩니다. f 위의 점은 t로 미분, g 위의 '은 x로 미분을 뜻합니다.
$$\frac{\dot f}{f}=D\frac{g''}{g} \to \dot f=-kf,\ Dg''=-kg$$
그런데 왼쪽 식에서 좌변은 t만의 함수, 우변은 x만의 함수이므로 양변은 모두 어떤 상수라고 볼 수 있습니다. 이걸 -k라고 합시다. 그럼 위 오른쪽처럼 두 개의 방정식으로 분리됩니다. g의 방정식은 sin(nπx/L) (n은 정수)꼴이어야 경계조건을 만족시킵니다. 각 n에 대해 k가 달라지는데 다음과 같습니다.
$$k_n=D(n\pi/L)^2$$
그럼 각 n에 대해 f의 방정식의 k도 kn이 되겠죠. 이걸 다 모으면 아래 결과를 얻습니다.
$$c(x,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-(\frac{n\pi}{L})^2Dt}$$
c(x,0)에 대한 정보가 초기조건으로 주어지면 이로부터 An이 결정되겠죠. 이걸 x로 적분하면 생존확률이 나옵니다. 이 결과를 자세히 보면 n에 상관없이 모두 지수함수로 줄어드는데, n이 커질수록 더 빨리 줄어듭니다. 가장 느리게 줄어드는 항이 t가 클 때의 행동을 좌우할 겁니다. 즉 n=1인 항이 중요하다는 말이죠.
$$S(t)\propto e^{-t/\tau_1},\ \tau_1=L^2/D\pi^2$$
이렇게 됩니다. 즉 구간 내부에서 출발한 마구 걷개가 마구 걷다가 흡수벽을 만나 사라질 때까지 대략 구간의 길이 L의 제곱에 비례하는 시간이 걸립니다. 끝.
