지난 번에 중력 모형을 유도했는데 이번에는 그 대안(?)으로 제시된 방사 모형(radiation model)을 유도해보겠다. 바라바시 그룹의 2012년 <네이처> 논문이 그것인데 이 논문의 추가정보(supplementary information)를 보면 유도 과정이 자세히 나온다.


어떤 마을 i가 있다고 하자. 이 마을에 사는 사람이 방출(emit)되어 거리가 r만큼 떨어진 j라는 마을로 흡수(absorb)되는 과정을 생각해보자. 사람 대신 ‘입자’라고 불러도 되는데, 이 입자의 흡수 문턱(absorption threshold)은 마을 i의 인구에 따라 커지는 값으로 지정해줄 수 있다. 비슷한 방식으로 마을 j의 흡수도(absorbance)도 지정해준다. 마을 i에서 방출된 입자의 흡수 문턱은 어떤 확률분포 p(z)에서 z를 그 마을의 인구수만큼 뽑아낸 후 그 중 최대값으로 지정한다. 마을의 인구가 클수록 그 마을로부터 방출된 입자의 흡수 문턱은 커지게 되어 있다. 같은 방식으로 p(z)에서 마을 j의 인구수만큼 z를 뽑은 후 그 중 최대값을 마을 j의 흡수도로 지정한다.


이제 중요한 가정이 들어가는데, 마을 i에서 방출된 입자가 중간의 다른 마을에 흡수되지 않고 마을 j에 흡수되기 위해서는 i의 흡수 문턱이 ‘중간의 다른 마을’의 흡수도보다는 크되 마을 j의 흡수도보다는 작아야 한다는 것이다. 즉 i에서 방출된 입자가 j에 흡수될 확률은 다음처럼 쓸 수 있다.

$$P(1|m,n,s) = \int_0^\infty dz P_m(z) P_s( < z) P_n( > z)$$

여기서 m은 마을 i의 인구, n은 마을 j의 인구, s는 i와 j 사이의 인구인데, 구체적으로 i로부터 거리가 r 이내에 있는 모든 마을의 인구이며 i와 j의 인구는 제외한 수다. 이 식을 보면 알 수 있듯이 i의 흡수 문턱이 정해져 있지 않고 이 역시 확률변수로서 주어지고, 중간의 다른 마을과 마을 j에 대해서도 마찬가지다. 적분 안의 각 확률은 다음처럼 주어진다.

$$P_m( < z)=p( < z)^m,\ P_s( < z)=p( < z)^s,\ P_n( > z)=1-p( < z)^n$$ $$P_m(z)=\frac{dP_m( < z)}{dz} = mp( < z)^{m-1} \frac{dp( < z)}{dz}$$

이 식들을 적분식에 넣고 z 대신 \(p( < z)\)로 적분하면 적분 구간은 0부터 1 사이로 바뀌고 적분도 쉽게 된다.

$$P(1|m,n,s)=\frac{mn}{(m+s)(m+n+s)}$$

중간 과정을 생략하고 이로부터 결론만 말하면, 만일 i로부터 방출된 입자의 개수가 T라고 하면 이중 j에 흡수되는 입자의 평균 개수는 위 확률에 T를 곱한 값으로 얻어진다. 이게 방사 모형이다. 끝.