제목만 봐서는 무슨 얘기를 하려는지 감이 안올 것 같습니다. '여러가지 흡수상태의 성질1'에서 잠시 0차원과 평균장 결과가 다르다고 했는데요, 그 얘깁니다. 참고문헌은 다음과 같습니다.
[1] M.A. Munoz et al., PRE 72, 056102 (2005).
[2] T. Birner et al., PRE 65, 046110 (2002).
N개의 노드가 모두 서로 연결되어 있고 이들 각각은 다음과 같은 운동방정식에 의해 기술된다고 합시다.
지난 번에 0차원 랑제방 방정식과 달라진 건 D에 비례하는 확산 항이 있다는 겁니다. i는 노드의 번호 또는 노드의 위치를 나타내고, 확산은 자신의 주변의 평균을 따라가려는 성질이라고 할 수 있으므로 다음처럼 쓸 수 있습니다.
여기서는 N개의 노드가 모두 연결되어 있으므로 각 노드에는 모두 N-1개의 이웃이 있는 거고요, M_i는 노드 i의 이웃의 평균을 나타냅니다. 그리고 이 M_i들이 원래 i에 따라 다 다른데, 이들이 모두 같은 값 M이라고 가정합니다. M_i가 모두 M과 같다는 가정을 하지 않는 좀더 일반적인 경우는 참고문헌 [1]에서 다루는데 이 글에는 소개하지 않겠습니다.(라고 쓰고 "아직 그 부분은 안봤습니다."라고 읽습니다.)
그리고 이토(Ito)의 해석에 따라 포커-플랑크 방정식을 쓰고 그걸 풀어서 정상상태인 경우의 φ의 확률분포를 구하면 아래와 같은 결과가 나옵니다. ([2]에서는 스트라토노비치 해석으로 썼는데 이토 해석과는 임계점만 상수만큼 달라지고 나머지 중요한 결과는 달라지지 않습니다.)
좀 복잡해보이죠. 0차원과 달라진 점은 확산 항이라고 했고 그건 D로 표현됩니다. D=0이면 확산이 없는 거니까요. 위에서 D에 의해 지수 안에 1/φ 항이 있다는 게 나오죠. 이 항에 의해 φ=0에서의 포텐셜이 양의 무한대로 발산하는 경우가 생깁니다. 하지만 지수 앞의 φ에 관한 거듭제곱 꼴에 의해 φ=0에서의 포텐셜이 음의 무한대로 발산해버리죠. 이건 또 φ의 거듭제곱 지수가 얼마냐에 따라 의존합니다.
이제 M을 앙상블 평균한 값을 m이라고 하고, R(φ;M)의 M을 모두 m으로 바꿔줍니다.
가운데와 오른쪽 항은 앙상블 평균의 정의를 그대로 쓴거죠. 오른쪽만 보면 m의 함수입니다. 이걸 F(m)이라고 하면, 위 식은 m = F(m)이 됩니다. 이걸 m에 대해 풀면 평균장 어림의 해가 나오는 겁니다.
원래 알고 있던 사실은 m=0은 항상 해가 된다는 겁니다. 이게 흡수상태인거죠. 이 해가 안정한 경우는 a<0일 때이고, a가 0 이상이 되면 불안정해진답니다. 그래서 a=0이 임계점이 되고요. m=0의 안정성은 F'(0)=1에서 갈리는데 이로부터 a=0이 임계점이라고 하는데, 이 부분은 못풀겠더라고요.
그런데 수식을 풀지 않더라도, 맨 위에 쓴 랑제방 방정식을 보면 a<0이면 모든 φ가 계속 감소하다가 언젠가는 0이 되므로 m=0이 안정한 해라는 걸 알 수 있죠. 그런데 0보다 큰 a로 인해 φ가 증가하므로 m=0은 더이상 안정한 해가 될 수 없습니다.
그러면 이러한 상전이(m=0으로부터 m>0으로의 상전이)의 임계현상은 어떻게 나타날까요. 위의 m = F(m)을 풀면 아래 결과가 '쉽게' 얻어진다고 합니다. '쉽게'에 따옴표를 한 건 실제 유도하는 걸 보지 않으면 아래 결과를 얻는 일이 그리 쉬워보이지 않기 때문입니다;;;
a=0이 임계점이므로 a를 0 근처에서 변화시킬 때(즉 a는 조절변수) 이 결과로 질서변수인 m이 어떻게 변하는가를 계산한 겁니다. 질서변수와 조절변수 사이의 거듭제곱 지수 β가 어떤 값인지는 상전이와 임계현상에서는 언제나 중요한 이슈입니다.
신기하게도 β는 σ^2/2D와 1/p 중 큰 값이라고 합니다. σ는 노이즈의 진폭을 결정하는 값이죠. 그러므로 노이즈가 약한 경우의 β는 노이즈의 세기와 무관하게 1/p이고, 노이즈가 강한 경우의 β는 노이즈의 세기에 따라 연속적으로 변한다는 결과를 얻었습니다. 임계지수가 연속적으로 변하는 경우에 대해서는 이미 다른 글에서 얘기한 적이 있는데, 이런 게 종종 보이네요.
그리고 이런 결과는 0차원 랑제방 방정식의 해에서는 볼 수 없던 거죠. 그래서 0차원과 평균장 어림은 서로 다르다는 걸 알 수 있습니다. 그런데 아직 명쾌하지는 않습니다. 위에서 M을 m으로 가정한 걸 원래 랑제방 방정식에 넣어주면 D=0으로 한 것과 어떤 차이가 있는지 불분명해지거든요. 이런 가정들이 그냥 '그런가보다'하고 넘어갈 수 있지만 사실 어떤 가정을 먼저 쓰느냐에 따라 다른 결과들이 나오기도 합니다.
이를테면, 맨 위의 랑제방 방정식에서 M_i=φ_i로 처음부터 강하게 가정해버리면 D=0으로 한 것과 같은 효과이고 그러면 0차원 랑제방 방정식을 푼 것과 똑같은 해가 나오겠죠. 하지만 M_i를 M으로 그리고 다시 m으로 가정하는 과정에서는 D에 의한 차이가 계속 살아남아서 '평균장 어림'이 되는 겁니다.라고 저는 이해했습니다.
하지만 이렇게 랑제방 방정식을 갖고 시작하지 말고, 미시적인 물리 모형만을 놓고 본다면 이걸 0차원 랑제방 방정식으로 기술해야 할지, 평균장 어림 랑제방 방정식으로 기술해야 할지를 결정하는 건 그리 쉬워보이지 않습니다.
